3. Psie kusy vzorové riešenie

Zadanie

Nina si domov kúpila nové gymnastické vybavenie – vzdušnú obruč. Hneď pri príchode do Bošian¹ ho začala inštalovať. Zobrala pribalené dve tyče a zatĺkla ich na záhrade do zeme do vzdialenosti \(d\) od seba. Nina v snahe vyskúšať si vzdušnú obruč čo najskôr, zatĺkla jednu z tyčí o \(h\) hlbšie ako tú druhú. Medzi vrcholmi tyčí potom natiahla dostatočne dlhé lano dĺžky \(l\). Na toto lano zavesila vzdušnú obruč, na ktorú sa zavesila. Spolu mali hmotnosť \(M\).

Nina sa teraz obáva, že keď bude robiť gymnastické kúsky na obruči, tak ju budú otravovať jej psiská. V akej výške pod vyššou tyčou sa ustáli Nina na vzdušnej obruči?

---

1. Nina býva v Bošanoch (doplnené pre spokojnosť vedúcich).↩︎

Začnime zaznačením známych a hľadaných veličín do obrázka 1. Našou úlohou je určiť výšku \(H\) pomocou zadaných veličín (teda pomocou \(l\), \(d\), \(h\) a \(M\)).

Ďalej si pre jednoduchšie vyjadrovanie označme bod, v ktorom je zavesená obruč bodom \(N\), vrchol prvej tyče \(A_0\) a bod \(A_1\) je vo výške \(2H + h\) pod vrcholom \(A_0\). Na tyči \(B\) je jej vrchol bod \(B_0\) a bod \(B_1\) je vo výške \(2H\) pod vrcholom \(B_0\). Úsek \(A_0N\) zviera s vodorovnou priamkou uhol \(\alpha\) a úsek \(NB_0\) uhol \(\beta\). Úsek \(A_0N\) pôsobí na obruč ťahovou silou o veľkosti \(F_1\), úsek \(NB_0\) silou s veľkosťou \(F_2\). Samotná obruč pôsobí na lano v bode \(N\) tiažovou silou \(F_g\).

Na riešenie úlohy je potrebné uvedomiť si dve veci. Tou prvou je, že časti lana \(NA_0\) a \(NB_0\) budú s vodorovnou priamkou zvierať rovnaký uhol. Keďže je bod \(N\) v pokoji, výslednica síl, ktoré naň pôsobia v \(x\)-ovom aj \(y\)-ovom smere, musí byť nulová. Rozkladom síl na vodorovné a zvislé zložky dostávame podmienku pre \(x\)-ový smer, \[ F_1 \cos\alpha = F_2\cos\beta. \qquad{(1)}\]

Voľne zavesenú obruč zároveň možno považovať za voľnú kladku, čo znamená, že ťahové sily \(F_1\) a \(F_2\), ktorými na ňu pôsobia jednotlivé úseky lana, musia byť rovnaké. Z rovnosti síl v \(x\)-ovom smere vyplýva, že aj kosínusy oboch uhlov musia byť navzájom rovnaké, a teda aj uhly \(\alpha\) a \(\beta\) musia byť rovnaké. To následne znamená, že časť lana \(NB_0\) možno zobraziť podľa vodorovnej osi tak, že trojuholník \(A_0 B_1 A_1\) je pravouhlý.¹

Ďalej vieme, že poloha bodu \(N\) nebude závisieť na hmotnosti \(M\) obruče (teda aspoň v ideálnych podmienkach). Keďže predpokladáme, že lano je nehmotné a svoje rozmery vplyvom vonkajších síl nemení, na lano bude pôsobiť len tiažová sila v jednom bode. Preto bude pre rovnaké parametre \(d\), \(h\) a \(l\) poloha bodu \(N\) rovnaká bez ohľadu na hodnotu \(M\).

Úlohu sme si takto podstatne zjednodušili. Snažíme sa vyjadriť hodnotnu výrazu \(H + h\) (pozri obrázok 1), keďže hľadáme výšku pod vrcholom vyššej tyče. Podľa Pytagorovej vety platí \[ \left|A_0 A_1\right| = \sqrt{l^2 - d^2}. \qquad{(2)}\]

Zároveň ale platí \(\left|A_0 A_1\right| = 2H + h\), teda dostávame rovnosť, ktorú jednoducho upravíme: \[ \begin{aligned} 2H + h &= \sqrt{l^2 - d^2}, \\ H + h &= \frac{\sqrt{l^2 - d^2} + h}{2}. \end{aligned} \qquad{(3)}\]

Obruč sa ustáli v tejto výške pod vrcholom vyššej tyče.

Alternatívne sme si mohli všimnúť, že množina bodov, v ktorých sa môže obruč nachádzať, bude elipsa, ktorá má ohniská vo vrcholoch jednotlivých stĺpov a dĺžka lana predstavuje súčet vzdialeností bodov elipsy od týchto ohnísk. Nina sa ustáli v najnižšom bode tejto elipsy, kde má dotyčnica k elipse nulový sklon. Následne vieme využiť odrazovú vlastnosť elipsy, ktorá nám vraví, že lúč vychádzajúci z jedného ohniska elipsy sa pri odraze od dotyčnice v danom bode odrazí do druhého ohniska. Podľa zákonu odrazu to ale znamená, že uhly \(\alpha\) a \(\beta\) musia byť rovnaké (pozri obrázok 1). Keď už máme zdôvodnenú rovnosť týchto tvoch uhlov, vieme následne postupovať rovnako ako v predchádzajúcom riešení.

Treťou možnosťou, o ktorú sa pokúsila približne tretina riešiteľov, je čisto analytické riešenie pomocou rovnakej elipsy ako v predchádzajúcom prípade. Toto riešenie je však o niečo zložitejšie a pracnejšie ako predchádzajúce dve.

Na obrázku 2 môžeme vidieť, že ohniská elipsy sa nachádzajú na známych súradniciach. V „zvyčajnej“ súradnicovej sústave (označme ju \(x'y'\)), ktorá má \(x'\)-ovú os vodorovnú a \(y'\)-ovú zvislú však \(F_1F_2\) nebude rovnobežná ani s jednou súradnicovou osou. Môžeme tak definovať karteziánsku sústavu \(xy\), ktorá bude oproti sústave \(x'y'\) otočená o uhol \(\phi\). Tangens tohto uhla vieme ľahko určiť, je to pomer \(h:d\). V sústave \(xy\) tak budú mať ohniská súradnice \[ \begin{aligned} F_1 &= \left[-\frac{\sqrt{d^2 + h^2}}{2}, 0\right], \\ F_2 &= \left[\frac{\sqrt{d^2 + h^2}}{2}, 0\right]. \end{aligned} \qquad{(4)}\]

Vieme určiť predpis elipsy, keďže poznáme \[ \begin{aligned} a^2 &= \frac{l^2}{4}, \\ e^2 &= \frac{d^2 + h^2}{4}, \\ b^2 &= a^2 - e^2 = \frac{l^2 - d^2 - h^2}{4}, \end{aligned} \qquad{(5)}\] kde \(e\) je lineárna excentricita, čiže vzdialenosť ohnísk od stredu elipsy.

Elipsa bude mať v sústave \(xy\) stred v jej počiatku. Jej predpis tak bude \[ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1. \qquad{(6)}\]

Zamerajme sa teraz na dotyčnicu k hľadanému najnižšiemu bodu. Vieme, že pôjde o priamku, ktorá bude mať predpis \[ y = kx + c_1, \qquad{(7)}\]

kde \(k\) je jej smernica a \(c_1\) bude absolútny člen. V sústave \(x'y'\) bude mať táto priamka nulový sklon, teda bude vodorovná. V sústave \(xy\), ktorá je oproti \(x'y'\) otočená o uhol \(\phi\) bude zvierať tento uhol s x-ovou osou. Bude mať zjavne záporný sklon, a preto bude pre jej smernicu \(k\) platiť \[ \begin{aligned} k &= -\tan\phi, \\ k &= -\frac{h}{d}. \end{aligned} \qquad{(8)}\]

My ale vieme, že dotyčnica k elipse v bode \([x_0, y_0]\) bude mať vo všeobecnosti predpis \[ \begin{aligned} \frac{x_0}{a^2}x + \frac{y_0}{b^2}y &= 1, \\ y &= -\frac{x_0b^2}{a^2y_0}x + \frac{b^2}{y^0}. \end{aligned} \qquad{(9)}\]

Rovnice 7 a 9 ale budú ekvivalentné, t. j. musia byť splnené súčasne. To znamená, že aj koeficienty pri lineárnom člene v oboch rovniciach musia byť rovnaké, z čoho plynie rovnosť \[ -\frac{x_0b^2}{a^2y_0} = -\frac{h}{d} \qquad{(10)}\]

Následne vieme vyjadriť napr. bod \(x_0\) a dosadiť túto hodnotu do rovnice 6 (keďže aj bod \([x_0, y_0]\) patrí našej elipse), čím po (trochu nepeknej) úprave dostávame \[ y_0^2 = \frac{d^2b^4}{h^2a^2 + d^2b^2}. \qquad{(11)}\]

Všimnime si, že tak ako sme si zvolili sústavu \(xy\), bude bod \([x_0, y_0]\) ležať v jej 3. kvadrante. Obe súradnice tak musia byť záporné. Z rovnice 11 preto vezmeme záporný koreň. Dostávame \[ y_0 = -\frac{db^2}{\sqrt{h^2a^2 + d^2b^2}}. \qquad{(12)}\]

Túto hodnotu dosadíme do rovnice 10, čím získavame hodnotu pre \(x_0\). \[ x_0 = -\frac{ha^2}{\sqrt{h^2a^2 + d^2b^2}}. \qquad{(13)}\]

Teraz, nám už sú známe súradnice bodu \([x_0, y_0]\), lenže v sústave \(xy\). Chceme teda vypočítať vzdialenosť bodu \(N\) od priamky určenej ohniskom \(F_2\) a smerovým vektorom \(\vec{u} = (1, -\tan\phi)\) (ten nám hovorí, že priamka zviera s \(x\)-ovou osou uhol \(\phi\)). Priamku nazvime \(p\). Ľahko nájdeme normálový vektor tejto priamky \(\vec{n} = (\tan\phi, 1)\). Všeobecná rovnica tejto priamky tak bude v tvare \(p: (\tan\phi) x + y + c_2 = 0\), kde \(c_2\) určíme, ak do rovnice dosadíme bod \(F_2\), ktorý jej patrí. Ak tak urobíme a za \(\tan\phi\) zároveň dosadíme podľa rovnice 8, dostávame predpis priamky \(p\), \[ p: \frac{h}{d}x + y - \frac{h\sqrt{h^2 + d^2}}{2d} = 0. \qquad{(14)}\]

V sústave \(x'y'\) bude teda priamka \(p\) vodorovná a prechádzajúca ohniskom \(F_2\). Tým, že počítame vzdialenosť bodu \(N\) od tejto priamky v sústave \(xy\), počítame rozdiel \(y\)-ových súradníc bodov \(F2\) a \(N\) v sústave \(x'y'\), teda práve hľadanú výšku pod vrcholom vyššej tyče.

Vzdialenosť \(|p; N|\) vieme určiť podľa vzťahu \[ \left|p; N\right| = \frac{ax_0 + by_0 + c}{\sqrt{a^2 + b^2}}, \] kde \(a, b, c\) sú koeficienty z predpisu priamky \(p\) a \(x_0\), \(y_0\) sú súradnice bodu \(N\) (v sústave \(xy\)). Všetky tieto hodnoty sú známe, preto dosádzame z rovníc 14, 13 a 12. Následne dostaneme krkolomný výraz, ktorý ďalej upravujeme. A skutočne po jeho zjednodušení dostaneme hľadaný tvar \[ \left|p; N\right| = \frac{\sqrt{l^2 - d^2} + h}{2}. \]

Uff.