2. Zneviditeľnenie vzorové riešenie

Zadanie

Tuholátkar Kubko si tento semester zapísal predmet o metamateriáloch. Dozvedel sa, že jednou z oblastí skúmania metamateriálovej fyziky je aj plášť neviditeľnosti. Rozhodol sa preto, že si takéto niečo vyskúša vyrobiť. Kde ale začať? Spomenul si, že tuhé látky sú najmä v mrazničke. Otvoril preto mrazničku a našiel v nej… muchu. Tá nešťastníčka sem musela zavítať medzi dvomi otvoreniami dvierok. Bohužiaľ, teraz už bola zamrznutá v strede dokonalej kocky ľadu. Povzdychnúc si, zobral Kubko čiernu fixku a muchu zneviditeľnil! Urobil tak začiernením niektorých častí plášťa ľadovej kocky. Akú najmenšiu časť povrchu musí Kubko začierniť, aby muchu už zo žiadneho uhlu pohľadu nebolo vidno? Ako má pritom začierňovať?

Na začiatok trochu označenia – nech má naša ľadová kocka hranu dĺžky \(a\).

Pri riešení tejto úlohy nám pomôže znalosť geometrickej optiky. Predstavme si, že máme rozhranie dvoch rôznych prostredí (napríklad vzduchu a ľadu, to by sa nám v tejto úlohe mohlo hodiť). Svetelný lúč, ktorý dopadá na rozhranie týchto dvoch prostredí, sa pri prechode do druhého prostredia môže lámať. To znamená, že ak lúč dopadá rozhranie pod uhlom \(\alpha_1\), po prechode opúšťa rozhranie pod uhlom \(\alpha_2\) (prechádzajúci lúč zostáva v rovine dopadu), pričom platí \[ n_1\sin\alpha_1 = n_2\sin\alpha_2. \]

Tomuto poznatku sa hovorí Snellov zákon lomu. V jeho matematickej formulácií vystupujú ešte dve veličiny, \(n_1\) a \(n_2\). Hovorí sa im indexy lomu a patria medzi konštanty definujúce optické vlastnosti materiálu. Nie je ťažké zistiť, že pre vzduch, \(n_1 \approx 1\) (táto rovnosť je približná, ale dostačujúca pre naše potreby) a pre ľad \(n_2 \approx \num{1.31}\). Vidíme, že ľad má väčší index lomu – takému prostrediu sa hovorí opticky hustejšie.

Vráťme sa teraz k našej úlohe s muchou. Muchu vidíme vďaka tomu, že odráža svetlo, ktoré na muchu dopadá, do všetkých smerov. Miesto muchy si teda vlastne môžeme predstaviť bodový zdroj svetla, ktorý do všetkých smerov svetelné lúče vyžaruje.

Pozorný čitateľ si ale isto všimne, že takto vyslovený Snellov zákon má aj svoje hranice. V našej úlohe lúče prichádzajú od muchy, lámu sa na rozhraní ľadovej kocky a vzduchu. Platí teda, že \[ \sin\alpha_1 = \ang{1.31} \sin\alpha_2. \]

Avšak uhly \(\alpha_1\) a \(\alpha_2\) sú obidva niekde medzi \(\ang{0}\) a \(\ang{90}\), teda ich sínusy sú čísla medzi \(0\) a \(1\). Hneď teda vidíme, že \(\alpha_2\), teda uhol pod ktorým dopadá svetlo z muchy zvnútra na stenu kocky, nemôže byť hocijaký. Konkrétne v našom prípade to môže byť najviac \(\alpha_c = \arcsin{\frac{1}{\num{1.31}}} \approx \ang{49.76}\). Tomuto uhlu sa hovorí aj kritický uhol. Ak svetlo z muchy dopadá na stenu kocky zvnútra pod väčším uhlom, dochádza k takzvanému úplnému odrazu, kedy svetelný lúč neprechádza do druhého prostredia.

Množina bodov na stene kocky, na ktoré dopadá svetlo z muchy pod uhlom menším ako kritickým, tvorí kruh so stredom v strede steny. Toto je množina bodov, ktoré chceme začierniť. Zostáva určiť polomer tohto kruhu. To ale nie je ťažké, nakoľko vieme uhol, pod ktorým dopadá na hranicu kruhu svetlo z muchy – práve pod kritickým uhlom \(\alpha_c\). Jednoduchou goniometriou už potom vidíme, že polomer kruhu bude \[ r = \frac{a}{2} \cdot \tan\alpha_c \approx \num{1.18} \cdot \frac{a}{2}. \]

Hneď vidíme, že sme sa prerátali – takýto kruh už by mal polomer väčší, než je polovica dĺžky hrany kocky a preto sa celý nevojde na stenu kocky. Celý kruh má obsah \(S_\text{kruh} = \pi r^2\), potrebujeme ale odrátať štyri kruhové odseky s výškou \(h = \frac{a}{2}\left(\tan\alpha_c - 1\right)\). Obsah každého z nich je teda (autor si tiež tento vzťah musel nájsť na wikipédii, nebojte) \[ S_\text{odsek} = r^2\arccos{\frac{r - h}{r}} - (r - h)\sqrt{r^2 - (r - h)^2}. \] Krásne, nie? :) Takéto osekané „kruhy“ vzniknú na každej zo šiestich stien kocky. Zafarbené časti povrchu kocky tak majú plochu \(6\left(S_\text{kruh} - 4S_\text{odsek}\right)\), celá kocka má povrch \(S_\text{kocka} = 6a^2\), teda pomer je \[ \frac{S_\text{zafarbené}}{S_\text{kocka}} = \frac{S_\text{kruh} - 4S_\text{odsek}}{a^2}. \]

Zostáva vyčísliť, dostaneme hodnotu približne \(\num{0.942}\).

Poznámka

Je nutné dodať, že toto (mucha ako bodový zdroj svetelných lúčov) je jeden z možných spôsobov, ako sa pozerať na úlohu. Ak si povieme, že mucha je čierny bod, ktorý vidíme iba vtedy, ak ho dokážeme rozlíšiť voči podkladu, rovnakými úvahami prídeme na to, že stačí zafarbiť polovicu pôvodného výsledku (konkrétne „kruhy“ na troch stenách so spoločným rohom). Tak muchu nebudeme vidieť pri pohľade zo žiadnej strany, či už kvôli nerozlíšeniu alebo priamo kvôli zafarbeniu. Aj takýto spôsob nahliadania na úlohu je dobrý.