4. Lenivé elektróny vzorové riešenie

Táto úloha bola ozaj veľmi jednoduchá. Natoľko, že niektorí ste sa nechali popliesť… No, nechajme to na neskôr. Problém, ktorý bol zadaný, je veľmi dobre známy. Veličina, na ktorú sme sa pýtali, sa nazýva driftová rýchlosť a označuje napríklad \(v_d\) – podobne ako pri plyne, vieme, že každá jedna z molekúl sa pohybuje pomerne rýchlo (stovky metrov za sekundu). Pri meraní rýchlosti vetra takéto hodnoty nedosahujeme. Jedná sa teda o priemernú rýchlosť elektrónu v kove pri zohľadnení smeru pohybu – stovky metrov za sekundu sú pri plyne priemerná veľkosť ich rýchlosti; pri bezvetrí je však driftová rýchlosť molekúl vzduchu nulová, kým driftová rýchlosť pri vetre je to isté, čo rýchlosť vetra. Driftová rýchlosť je často používaná veličina a existuje viacero rôznych vzťahov, ktorými sa k nej možno dopracovať.

Asi najjednoduchšie bolo dopátrať sa k veličine nazývanej elektrónová mobilita (označenie \(\mu\)); toto je materiálová veličina a zohľadňuje mernú vodivosť materiálu takým spôsobom, že je len konštantou úmernosti medzi driftovou rýchlosťou a elektrickým poľom naloženým na materiál, \[ v_d = \mu E. \]

Hneď Wikipedia hovorí o tom, že pre meď sa táto hodnota pohybuje okolo \(\SI{40}{\centi\meter\squared\per\volt\per\second}\). A elektrické pole? To je predsa vo voltoch na meter – a pre homogénny medený vodič to bude v našom prípade \(\SI{4.5}{\volt\per\meter}\). To teda hovorí o rýchlosti okolo \(\SI{1.8}{\centi\meter\per\second}\) a teda (vzorec pre rovnomerný pohyb si vygooglite…) o čase okolo \(56\) sekúnd.

Ak sa vám predchádzajúci výpočet zdal tak trochu ako švindeľ, trochu tomu tak je – elektrónovú mobilitu vymysleli presne preto, aby to ľudia mohli takto obísť. Dalo sa to, samozrejme, počítať aj inak, trochu (ale nie príliš) zložitejšie. Opäť sa stretneme s jednou divnou veličinou, ktorá opisuje nejaké vodivostné vlastnosti materiálov – tentokrát to bude koncentrácia nosičov náboja, alebo tiež (ak náboj nesú elektróny – v polovodičoch to tak byť nemusí) koncentrácia vodivostných elektrónov (ak vás zaujíma, ako sa táto správa v dva nanometre tenkých filmoch rôznych kovov, ozvite sa mi). Je to jednoducho číslo, ktoré hovorí, koľko nosičov náboja je v jednotke objemu a značí sa \(n\). Možno ho dopočítať napríklad z atómovej hmotnosti, hustoty a počtu valenčných elektrónov (áno, pre meď sa to dá, to je slušný kov, ale nie vždy žijeme v takomto luxuse, ehm ehm molybdénkarbid). Pre meď je to teda \(\SI{8.5e28}{\per\meter\cubed}\).

Ak chceme spočítať, koľko kusov nosičov náboja prejde za sekundu pri prúde \(I\), bude to \(\frac{I}{e}\) – \(e\) je náboj elektrónu, teda nosiča náboja. A ak sa na to pozrieme, tak (žiadna vysoká fyzika sa nekoná) počet pretečených elektrónov za sekundu musí byť ich koncentrácia krát prierez drôtu krát ich rýchlosť. Teda rovnicou \[ \frac{I}{e} = nSv_d \] a po učesaní \[ \frac{I}{S} = nev_d. \]

Lenže pomer \(I/S\) vystupuje i kdesi inde… prúd síce nemáme, ani odpor, sťaby sme nemohli použiť Ohmov zákon? Ale nie, stačí si len odpor, použijúc definičný vzťah rezistivity, rozpitvať na \(R = \frac{\rho l}{S}\) a dosadiť do Ohmovho zákona \[ I = \frac{U}{R} = \frac{U}{\frac{\rho l}{S}} = \frac{US}{\rho l}. \]

No a tento prúd teraz dosadíme do vzťahu, ktorý už poznáme: \[ \begin{aligned} nev_d &= \frac{I}{S} \\ &= \frac{\frac{US}{\rho l}}{S} \\ &= \frac{U}{\rho l} v_d &= \frac{U}{\rho lne}. \end{aligned} \]

Rezistivita, alebo merný elektrický odpor, je klasická tabuľková záležitosť. A koncentrácia nosičov náboja tiež – ale ak by ste o tom náhodou nevedeli, tak sa vždy dalo spočítať, koľko atómov je v objeme medi (z jej hustoty a atómovej hmotnosti) a z periodickej tabuľky určiť, že každý atóm dáva jeden vodivostný elektrón. Keď teda dosadíme za rezistivitu \(\rho = \SI{1.72e-8}{\ohm\meter}\) a za koncentráciu \(n = \SI{8.5e28}{\per\meter\cubed}\), dostávame hodnotu driftovej rýchlosti okolo \(\SI{1.9}{\centi\meter\per\second}\). To nám dá čas okolo 53 sekúnd.

A ako je to s tou dobou, kedy sa zažne žiarovka? Veď to poznáme z počasia – front postupuje inou rýchlosťou, akou fúka vietor; alebo aj opačným smerom. Tak čomu sa diviť? Najjednoduchšie vysvetlenie, ktoré je v mojich schopnostiach a súčasne je tu na neho priestor, hovorí o tom, že to vyzerá ako voda v hadici – voda kdesi ďaleko už má nenulovú rýchlosť, aj keď voda odtiaľto tam ešte ani zďaleka nedošla. Ako to môže fungovať v prípade elektrónov, ktoré sa ani náhodou nedotýkajú, to si asi necháme na inokedy.

A ozaj, prečo to nejde cez energie? Veď napätie krát náboj elektrónu je potenciálna energia! A kinetická sa mení na potenciálnu… Prvý problém si niektorí z vás všimli; ošetrili ho vetou „relativistické efekty zanedbáme“. A potom im vyšla rýchlosť blízka rýchlosti svetla, tú podčiarkli a tešili sa. Lenže pri takejto rýchlosti by už relativitu bolo treba uvážiť. Chyba je však inde a takúto rýchlosť elektróny nedosiahnu! Čo je teda zle na úvahe o kinetickej a potenciálnej energii? Nejaká časť energie sa stratí. Inžiniersky sa tomu povie, že sa vodič zahrieva a že za to môže elektrický odpor (ten predsa poznáme) – no a mikroskopický pohľad nám naznačí, že elektróny narážajú do jadier atómov medi, to sa dá interpretovať ako trenie a sme späť pri zahrievaní – tu sa predsa stráca tá energia!