2. Nin(j)a medzi stenami vzorové riešenie

Zase raz úloha zo statiky. Veď v tej úlohe nie je nič zaujímavé, či? Opak je však pravdou.

Nina sa má udržať medzi stenami, teda musí byť schopná medzi stenami zotrvávať v pokoji. To pre Ninu ako tuhé teleso znamená, že

1. sily, ktoré na ňu pôsobia, musia mať (vektorový) súčet \(\vec{0}\),
2. momenty síl vzhľadom na Ninino ťažisko, ktoré na ňu pôsobia, musia mať (vektorový) súčet \(\vec{0}\).

Prvá z týchto podmienok znamená, že Nina nezrýchľuje v žiadnom priamom smere. Druhá zas hovorí, že Nina nerotuje.

Potrebujeme sa tak pozrieť, čo za sily pôsobia v našej situácii. Nina pôsobí na stenu so súčiniteľom trenia \(f_1\) silou \(\vec{F_1}\). Zo zákona akcie a reakcie potom stena pôsobí na Ninu silou \(-\vec{F_1}\). Podobne Nina pôsobí silou \(\vec{F_2}\) na druhú stenu a tá zas na Ninu reakčnou silou \(\vec{F_2}\). V celej úlohe predpokladajme, že tieto sily pôsobia kolmo na stenu. ¹.

Ďalej v bodoch, kde sa Nina dotýka stien, pôsobia trecie sily \(\vec{F_{t_1}}\) a \(\vec{F_{t_2}}\). Trecie sily pôsobia proti smeru pohybu Nininých rúk, ktoré by sa chceli skĺznuť nadol, takže pôsobia smerom nahor. Aj k týmto silám sú ich dvojičky reakčných síl, ktoré pôsobia tentoraz na stenu, no tie nás nebudú zaujímať. Napokon poslednou silou v celej situácii je stará známa tiažová sila \(\vec{F_G}\).

Na Ninu tak pôsobí celkovo päť síl – dve reakčné na Ninino tlačenie do stien, dve trecie a tiažová. A týchto päť síl má mať nulový súčet a majú vyvolávať nulový moment.

Začnime časťou s nulovým súčtom síl. Táto podmienka hovorí: \[ -\vec{F_1} -\vec{F_2} + \vec{F_{t_1}} + \vec{F_{t_2}} + \vec{F_G} = \vec{0}. \]

Keď si ale všimneme, že sily \(-\vec{F_1}\) a \(-\vec{F_2}\) pôsobia vo vodorovnom smere a zvyšné tri sily pôsobia v zvislom smere, musí platiť \[ \begin{aligned} - \vec{F_1} - \vec{F_2} &= \vec{0}, \\ \vec{F_{t_1}} + \vec{F_{t_2}} + \vec{F_G} &= \vec{0}. \end{aligned} \]

Prvá z týchto rovností nám hovorí, že sily \(\vec{F_1}\) a \(\vec{F_2}\) musia mať rovnakú veľkosť, no opačný smer. Označme túto ich veľkosť \(F\). Druhá z rovností nám spolu s tým, že trecie sily pôsobia smerom nahor a tiažová smerom nadol, dáva rovnosť pre ich veľkosti: \[ F_{t_1} + F_{t_2} = F_G \qquad(1)\]

Tým sme vytrieskali nejaké podmienky z časti o nulovom súčte síl, môžeme ísť na časť o nulovom momente síl. Budeme predpokladať, že Ninino ťažisko leží presne v strede medzi bodmi, v ktorých tlačí do stien.

Všimnime si, že sily \(-\vec{F_1}\), \(-\vec{F_2}\) a \(\vec{F_G}\) pôsobia na priamkach, ktoré prechádzajú Nininým ťažiskom. Preto vzhľadom na Ninino ťažisko nevyvolávajú žiaden moment. Zaujímavé budú len trecie sily. Označme ramená týchto síl (čo sú v tomto prípade len vektory spájajúce Ninino ťažisko s príslušným bodom, kde Nina tlačí rukami) \(\vec{r_1}\) a \(\vec{r_2}\). Nulovosť výsledného momentu dáva podmienku: \[ \left(\vec{r_1} \times \vec{F_{t_1}}\right) + \left(\vec{r_2} \times \vec{F_{t_2}}\right) = \vec{0}. \]

V našom prípade je ale tento vzťah výrazne jednoduchší. Jedna z trecích síl roztáča Ninu v smere hodinových ručičiek, kým druhá proti smeru hodinových ručičiek. Momenty od týchto síl preto budú opačne orientované. Taktiež v tomto prípade platí, že vektor každej zo síl je kolmý na svoje rameno, a tak bude veľkosť momentu každej z nich daná jednoducho len súčinom veľkosti sily dĺžky jej ramena. Vďaka tomu dostaneme nasledovný vzťah pre veľkosti: \[ F_{t_1} r_1 = F_{t_2} r_2. \]

Napokon si uvedomíme, že v zadaní máme povedané, že Nina má mať ťažisko presne v strede medzi stenami. Takže platí \(r_1 = r_2\) a predošlý vzťah sa zjednoduší na obyčajné \[ F_{t_1} = F_{t_2}. \qquad(2)\]

Inými slovami, obe trecie sily musia mať rovnakú veľkosť².

Zostáva už len dať všetko dokopy. Použitím vzťahu 2 vo vzťahu 1 dostávame \[ F_{t_1} = F_{t_2} = \frac{F_G}{2} = \frac{mg}{2}. \]

Pre veľkosť trecej sily platí vzťah \(F_t \leq f F_N\), kde \(f\) je súčiniteľ trenia a \(F_N\) je veľkosť normálovej sily (teda sily kolmej na povrch) v bode, kde dochádza k treniu. Pre trecie sily \(\vec{F_{t_1}}\) a \(\vec{F_{t_2}}\) zohrajú úlohu normálových síl sily \(\vec{F_1}\) a \(\vec{F_2}\), ktorými Nina tlačí do stien. Zo vzťahov pre veľkosti trecích síl dostávame nerovnosti: \[ \begin{aligned} \frac{mg}{2} = F_{t_1} &\leq f_1 F_1 = f_1 F\\ \frac{mg}{2} = F_{t_2} &\leq f_2 F_2 = f_2 F \end{aligned} \] To dáva podmienky pre \(F\): \[ \begin{aligned} F &\geq \frac{mg}{2f_1}\\ F &\geq \frac{mg}{2f_2} \end{aligned} \] Keďže však \(f_2 < f_1\), \(\frac{mg}{2f_2} > \frac{mg}{2f_1}\). Obe podmienky sú preto súčasne splnené, iba ak je splnená len jedna z nich, konkrétne \[ F \geq \frac{mg}{2f_2}. \]

Keď bude splnená táto podmienka, trecie sily už Ninu udržia. Preto musí Nina pôsobiť na každú zo stien silou s veľkosťou aspoň \(\frac{mg}{2f_2}\).

Poznámka 1 (prípad, keď netlačíme kolmo na povrch)

Ak by Nina netlačila kolmo na povrch, celé riešenie by vyzeralo skoro rovnako, len by pribudlo niekoľko členov. Tie by riešenie spravili o dosť nechutnejším. Sily, ktorými Nina pôsobí a aj reakčné sily, by sa rozkladali na vodorovnú a zvislú zložku. Vodorovné zložky by sa vyriešili rovnako ľahko ako v kolmom prípade, zvislé zložky by vytvorili svoje členy vo vzťahu 1. Väčšiu opatrnosť by bolo vhodné dať časti s momentmi, ale aj tam by sa nič moc nezmenilo – tieto dve reakčné sily by opäť spolu vyvolávali nulový moment.

Situácia by sa ale skomplikovala, ak by Nina mohla do stien tlačiť rôzne šikmo. Vtedy by sa všetky veci, ktoré vychádzali pekne, stali škaredšími, ale náš postup by stále fungoval.

Poznámka 2 (ako si zjednodušiť udržanie sa)

Môže sa nám nepáčiť, že podľa výsledného vzťahu nám drsnejšia stena vôbec nijako nepomáha. To sa ale dá zmeniť. Ak by totiž Nina posunula svoje ťažisko bližšie k drsnejšej stene, zmenila by veľkosti ramien trecích síl. Tým by umožnila trecej sile \(\vec{F_{t_1}}\) byť väčšou. Pri vhodnom posunutí ťažiska by dokonca Nina mohla zariadiť, aby trecie sily mohli mať veľkosti \(F_{t_1} = f_1 F\) a \(F_{t_2} = f_2 F\). Vďaka tomu by Nine stačilo pôsobiť menšou silou.

V nejakej miere by Nine k zjednodušeniu si udržania sa mohlo dopomôcť, aj ak by tlačila do stien pod nejakým uhlom, ako v predošlej poznámke. Vodorovná zložka Nininej sily by prispievala stále ako normálová sila pre treciu silu a zvislá zložka by prispievala k tomu, aby zvislá zložka reakčnej sily vytláčala Ninu smerom nahor.³

Poznámka opravovateľa 1 (výsledný moment musí byť nulový)

Väčšina z vás si v tejto úlohe myslela, že na to, aby sa Nina udržala, stačí, aby výsledná sila pôsobiaca na ňu bola nulová. Keď si vezmete glóbus a budete ho stále viac a viac roztáčať⁴, rozhodne nepôjde o statickú situáciu. Treba aj o polnoci vedieť, že v statickej situácii na tuhé teleso nepôsobí žiadna sila a žiadny moment.

Poznámka opravovateľa 2 (vzorec na výpočet trecej sily)

Skoro vo všetkých riešeniach sa vyskytlo, že vzorček na treciu silu má tvar \(F_t = f F_N\). Takto tento vzorček nevyzerá. Ak by to totiž platilo, diali by sa divné veci – položíte kvádrik na mierne naklonenú rovinu a trecia sila ho vytiahne nahor.

V skutočnosti vzťah \(F_t = f F_N\) popisuje akou najväčšou silou môže trecia sila pôsobiť (teda správny vzťah je \(F_t \leq f F_N\)). Trecia sila však nie vždy bude pôsobiť takouto silou. Trecia sila vždy bude pôsobiť proti smeru (potenciálneho) pohybu, ale nikdy nebude pohyb vyvolávať. Tak ako na naklonenej rovine, kde buď trecia sila bude dostatočná na to, aby kvádrik udržala na mieste, alebo nebude dostatočná a bude kvádrik spomaľovať svojou najväčšou možnou veľkosťou.