3. Top nábojová úloha vzorové riešenie

Máme veľmi presne popísanú situáciu tesne predtým, ako náboj narazí do kyvadla. Chceli by sme zistiť, ako bude situácia vyzerať po zrážke. Najprv sa skúsme zamyslieť, čo musí platiť. Samozrejme, musí platiť zákon zachovania hybnosti¹ a zákon zachovania energie².

Hybnosť

Hybnosť je kúsok jednoduchšia. Pred zrážkou je v pohybe iba náboj, teda hybnosť celej sústavy je \(p = mv_n\), \(v_n\) sme označili rýchlosť náboja. Po náraze bola v pohybe zlatá guľa spolu s roztopeným nábojom. Teda ide o nepružnú zrážku. Zo zákona zachovania hybnosti teda dostávame \(p = mv_n = (m + M)v_k\), \(v_k\) sme označili rýchlosť kyvadla bezprostredne po zrážke.

Energia

Počas nárazu náboja do gule dochádza k premene foriem energie. Pred zrážkou má sústava len kinetickú energiu náboja \(E = \frac{mv_n^2}{2}\). Nulovú hladinu potenciálnej energie sme zvolili tak, aby potenciálna energia náboja aj gule bola nulová v momente zrážky. Po zrážke sa hýbe kyvadlo spolu s roztopeným nábojom, a teda kinetická energia sústavy je \(\frac{(m+M)v_k^2}{2}\). Potenciálna energia je síce tesne po zrážke nezmenená, ale náboj, a spolu s ním aj zlatá guľa, sa zohriali na \(t_t\) – teplotu topenia sa olova³. Tomu zodpovedá zmena tepelná energia o \(c_om(t_t-t_1) + c_zM(t_t-t_2)\), kde \(c_o\), \(c_z\) je merná tepelná kapacita olova, resp. zlata. Ďalšia tepelná energia zodpovedá roztopeniu náboja, a to \(ml_o\), kde \(l_o\) merné skupenské teplo topenia olova. V súčte je energia sústavy po zrážke a roztopení \(E=\frac{(m+M)v_k^2}{2} + c_om(t_t-t_1) + c_zM(t_t-t_2) + ml_o\).

Výpočet

Dostávame sústavu rovníc:

\[ \begin{aligned} mv_n&=(m + M)v_k\\ \frac{mv_n^2}{2} &=\frac{(m+M)v_k^2}{2} + c_om(t_t-t_1) + c_zM(t_t-t_2) + ml_o. \end{aligned} \]

Jediné neznáme sú \(v_n\) a \(v_k\). Vyriešime teda dve rovnice o dvoch neznámych. Z prvej vyplýva

\[ v_k = \frac{mv_n}{m+M} \]

Dosadíme do druhej, dostávame:

\[ \begin{aligned} \frac{mv_n^2}{2} &= \frac{(m+M)(\frac{mv_n}{m+M})^2}{2} + c_om(t_t-t_1) + c_zM(t_t-t_2) + ml_o\\ mv_n^2 - \frac{m^2}{m+M}v_n^2 &= 2c_om(t_t-t_1) + 2c_zM(t_t-t_2) + 2ml_o\\ v_n^2(m - \frac{m^2}{m+M}) &= 2c_om(t_t-t_1) + 2c_zM(t_t-t_2) + 2ml_o\\ v_n^2 &= \frac{2c_om(t_t-t_1) + 2c_zM(t_t-t_2) + 2ml_o}{(m - \frac{m^2}{m+M})}\\ v_n &= \sqrt{\frac{2c_om(t_t-t_1) + 2c_zM(t_t-t_2) + 2ml_o}{(m - \frac{m^2}{m+M})}}. \end{aligned} \]

Potom rýchlosť kyvadla bude:

\[ v_k = \frac{mv_n}{m+M} \]

Dosadenie

Nájdeme hodnoty, ktoré neboli v zadaní: \(t_t = \SI{327}{\celsius}\), \(c_o = \SI{129}{\joule\per\kilogram\per\celsius}\), \(l_o = \SI{22900}{\joule\per\kilogram}\), \(c_z = \SI{129}{\joule\per\kilogram\per\celsius}\)

dosadíme: \[ \begin{aligned} v_n &\doteq \SI{726}{\metre\per\second} \end{aligned} \]

Rýchlosť kyvadla potom bude:

\[ v_k = \frac{mv_n}{m+M} \doteq \SI{145}{\metre\per\second} \]

Do akej výšky sa vychýli kyvadlo?

Teraz budeme sledovať situáciu po zrážke a roztopení náboja. Odpor prostredia nebudeme uvažovať, teda mechanická energia kyvadla sa bude stále zachovávať. V každom momente bude mať kyvadlo kinetickú energiu \(\frac{(m+M)v^2}{2}\) a potenciálnu energiu \((m+M)g\Delta h\) voči svojej pôvodnej polohe.

Výška \(\Delta h\) bude najvyššia v čase, keď rýchlosť (a teda aj kinetická energia) bude nulová. Do rovnosti dáme energiu sústavy po zrážke, a v momente, v ktorom je výška najväčšia.

\[ \begin{aligned} \frac{(m+M)v_k^2}{2} &= (m+M)g\Delta h\\ \Delta h &= \frac{(m+M)v_k^2}{2(m+M)g}\\ \Delta h &\doteq \SI{1073}{\metre} \end{aligned} \]

Lanko má však dĺžku iba \(\SI{2}{\metre}\), takže kyvadlo vystúpa až do maximálnej výšky a to \(\SI{4}{\metre}\).