6. Nábojová obtiažnosť vzorové riešenie

Zadanie

Patrik dostal v zimnom semestri z elektriny a magnetizmu A. Odvtedy sa od samej radosti neustále hrá s kondenzátormi. Zobral si dva kondenzátory s kapacitami \(C_1\) a \(C_2\) a nabil ich na rovnaké napätie \(U_0\). Pomyslel si, že keby ich zapojil paralelne s rovnakými polaritami, nedialo by sa nič zaujímavé, a preto jeden kondenzátor otočil tak, aby jeho polarita bola opačná.

Aké bude výsledné napätie medzi bodmi \(A\) a \(B\) po zopnutí spínačov \(S_1\) a \(S_2\) a ustálení? Aký veľký náboj pretiekol spínačom \(S_1\)?

Bez ujmy na všeobecnosti nech je \(C_1 > C_2\). Zo zapojenia pred zopnutím spínačov dostávame \[ \begin{aligned} Q_1 &= U_0 C_1, \\ Q_2 &= U_0 C_2. \end{aligned} \qquad(1)\]

Po zopnutí spínačov elektróny na vetve \(B\) pretečú z jedného kondenzátora na druhý, pretože sa musí vyrovnať napätie. Rovnako sa tak stane aj na vetve \(A\). Napätie po ustálení si označme \(U'\). Zo zapojenia po zopnutí dostávame \[ \begin{aligned} Q_1' &= U' C_1, \\ Q_2' &= U' C_2. \end{aligned} \qquad(2)\]

Posledná potrebná rovnica vychádza zo zákona zachovania náboja. Ak písmenami \(Q\) označujeme veľkosť náboja, tak jeho polaritu musíme určiť znamienkom pred \(Q\). Na vetve \(A\) je teda pôvodne kladný \(Q_1\) a záporný \(Q_2\). Z predpokladu \(C_1 > C_2\) vyplýva, že na vetve \(A\) je dokopy kladný náboj, ktorý sa tak po zopnutí spínača rozdelí na kladné náboje \(Q_1'\) a \(Q_2'\), čiže \[ Q_1' + Q_2' = Q_1 - Q_2. \qquad(3)\]

Pozorný čitateľ vzoráku si určite všimne, že heslo šifry je hryzovisko, no dôležitejšie je, že máme \(5\) rovníc o \(5\) neznámych, a teda hor sa na riešenie.

Po dosadení rovníc 1 a 2 do 3 dostávame \[ U'\left(C_1+C_2\right) = U_0\left(C_1-C_2\right) \qquad\Rightarrow\qquad U' = \frac{C_1-C_2}{C_1+C_2} U_0. \qquad(4)\]

Vidíme, že napätie nám vyšlo menšie ako \(U_0\), čo bolo aj naozaj očakávané.

Ešte potrebujeme zrátať, aký náboj pretiekol spínačom \(S_1\). Keďže pred pretečením bol na kondenzátore náboj \(Q_1\) a po pretečení \(Q_1'\), ich rozdiel je vlastne pretečený náboj, pretože náboj nevzniká ani nezaniká, čiže \[ Q = Q_1 - Q_1'. \qquad(5)\]

Po dosadení z rovníc 1, 2 a 4 do 5 máme \[ \begin{aligned} Q &= U_0 C_1\left(1 - \frac{C_1 - C_2}{C_1 + C_2}\right) \\ &= 2\frac{C_1 C_2}{C_1 + C_2} U_0. \end{aligned} \qquad(6)\]

Týmto je úloha vyriešená.