Zadanie
Nina sa hrá s pružinkami. Minule zobrala dvojicu identických pružiniek s tuhosťou \(k\) a s nulovou pokojovou dĺžkou a pripevnila ich na protiľahlé steny kvádrika s hmotnosťou \(M\). Kvádrik potom položila na podložku a voľné konce pružiniek prichytila k dvojici pevných, protiľahlých stien. Následne kvádrik vychýlila z rovnovážnej polohy do vzdialenosti \(L\) a uvoľnila ho. Koľkokrát prejde kvádrik rovnovážnou polohou, než zastane? Koeficient trenia medzi kvádrikom a podložkou je \(f\).
Zaveďme si súradnicovú sústavu tak, že \(x\) je vodorovná súradnica s počiatkom v rovnovážnej polohe závažia.
Uvažujme, že závažie je vychýlené do vzdialenosti \(x_{0}\). Nájdime, akou silou \(F_{p}\) pôsobia pružinky na závažie v tejto polohe. Predpokladajúc, že rovnovážna poloha závažia je od stien vzdialená \(D\), pružinky sú natiahnuté na dĺžky \(D\pm x_{0}\). Výsledná sila od pružiniek je teda \[ F_{p} = k\left(D + x_{0}\right) - k\left(D - x_{0}\right) = 2kx_{0}. \] Vidíme, že Ninina sústava pružiniek je ekvivalentná jedinej pružinke s tuhosťou \(K=2k\). Ďalej preto budeme počítať s takouto zástupnou pružinkou.
Vychýľme teda závažia do vzdialenosti \(x_{0}\) a preskúmajme dve po sebe idúce krajné polohy závažia. Nech po \(n\)-tom prechode rovnovážnou polohou je maximálna výchylka závažia \(x_{n}\) a po \(\left(n + 1\right)\)-om \(x_{n+1}\). Po \(n\)-tom prechode v krajnej polohe je celá mechanická energia sústavy uložená v potenciálnej energii pružinky \(E_{n} = \frac{1}{2}Kx_{n}^{2}\), po \(\left(n + 1\right)\)-om prechode \(E_{n + 1} = \frac{1}{2}Kx_{n+1}^{2}\). Straty energie sú spôsobené trením, preto rozdiel medzi týmito energiami je zrejme rovný práci trecej sily medzi polohami \(x_{n}\) a \(x_{n + 1}\). Veľkosť trecej sily je \(F_{t}=Mgf\) a pôsobila na dráhe \(\left|x_{n}\right|+\left|x_{n+1}\right|\), preto \[ \begin{aligned} E_{n} - E_{n+1} &= F_{t}\left(\left|x_{n}\right| + \left|x_{n+1}\right|\right) \\ \frac{1}{2}K\left|x_{n}\right|^{2}-\frac{1}{2}K\left|x_{n+1}\right|^{2} &= F_{t}\left(\left|x_{n}\right|+\left|x_{n+1}\right|\right) \\ \frac{1}{2}K\left(\left|x_{n}\right|-\left|x_{n+1}\right|\right) &= F_{t} \\ \left|x_{n+1}\right| &= \left|x_{n}\right|-\frac{2F_{t}}{K}. \end{aligned} \]
Zaveďme si označenie \(a_{n}\equiv\left|x_{n}\right|\), nech sa zbavíme absolútnych hodnôt. Pre amplitúdu výchylky po \(n\)-tom prechode rovnovážnou polohou dostávame jednoduchý rekurentný vzťah \[ a_{n}=a_{n-1}-\frac{2F_{t}}{K}. \] Skúsme ho opakovane do seba dosádzať a sledujme, čo dostaneme: \[ \begin{aligned} a_{n} &= a_{n-1} - \frac{2F_{t}}{K}= \\ &= a_{n-2} - 2\frac{2F_{t}}{K} = \ldots = \\ &= a_{n-m} - m\frac{2F_{t}}{K} = \ldots = \\ &= a_{0} - n\frac{2F_{t}}{K}. \end{aligned} \]
Nech závažie prekmitne rovnovážnou polohou práve \(N\)-krát. V takom prípade maximálna výchylka po \(N\)-tom prekmitnutí je \[ a_{N} = a_{0} - N\frac{2F_{t}}{K}. \]
Aby závažie neprekmitlo aj \(\left(N+1\right)\)-vý krát, zrejme musí byť potenciálna energia v krajnej polohe menšia než práca trecej sily z krajnej polohy do rovnovážnej polohy. Ak by bola čo i len o trošku väčšia, závažie by prekmitlo už \(\left(N+1\right)\)-vý krát, preto \[ \frac{1}{2}Kx_{N}^{2} \stackrel{!}{<} F_{t}\left|x_{N}\right|, \] odkiaľ \[ a_{N} \equiv \left|x_{N}\right| < \frac{2F_{t}}{K}. \] Zároveň vieme, že amplitúda je nezáporná. Dostávame teda podmienku \[ 0\leq a_{N}=a_{0}-N\frac{2F_{t}}{K}<\frac{2F_{t}}{K}. \]
Odtiaľ \[ \begin{gathered} a_{0} \geq N\frac{2 F_{t}}{K} > a_{0} - \frac{2F_{t}}{K} \\ \frac{K}{2F_{t}} a_{0} \geq N > \frac{K}{2F_{t}} a_{0} - 1 \\ N = \left\lfloor\frac{K}{2F_{t}} a_{0}\right\rfloor \end{gathered} \]
Po dosadení príslušných výrazov za \(K\) a \(F_{t}\) a uvážiac, že počiatočná amplitúda je \(a_{0}=L\), konečne dostávame1 \[ N = \left\lfloor \frac{kL}{Mgf}\right\rfloor. \]
\(\left\lfloor x \right\rfloor\) značí dolnú celú časť čísla \(x\). V našom výpočte uvažujeme, že na to, aby sme zarátali prechod rovnovážnou polohou, stačí, aby závažie túto rovnovážnu polohu dosiahlo. Ak by sme požadovali, aby závažie touto polohou naozaj aj prešlo, mali by sme podmienku \(0 < a_{N} = a_{0}-N\frac{2F_{t}}{K}\leq\frac{2F_{t}}{K}\), odkiaľ \(N = \left\lceil \frac{K}{2F_{t}} a_{0} - 1\right\rceil = \left\lceil \frac{kL}{Mgf}\right\rceil - 1\).↩︎
Diskusia
Tu môžte voľne diskutovať o riešení, deliť sa o svoje kusy kódu a podobne.
Pre pridávanie komentárov sa musíš prihlásiť.