4. Niečo si želaj vzorové riešenie

Na začiatok letnej časti si pre vás Hovorca pripravil pomerne jednoduchú úlohu, postaviť rad dominových kociek a zmerať rýchlosť šírenia vlny. Žiadne teoretické výpočty, iba spraviť dostatočne presné merania, správne ich zaznamenať a zanalyzovať.

Každý experiment by ste mali začať počiatočnými očakávaniami, aby vás namerané hodnoty neprekvapili, respektíve aby ste vedeli spozorovať, že niečo nebeží dobre, ak to odporuje očakávaniam. V tejto úlohe by mali byť očakávania prosté. Keď sú kocky príliš blízko seba, drcnutie do prvej kocky spôsobí následný „pád“, ktorý nebude pádom, pretože ťažisko kocky sa nepresunie za bod otáčania. V opačnom extréme, keď sú kocky príliš ďaleko od seba, pád prvej kocky nespôsobí pád tej nasledujúcej, pretože na seba nedočiahnu. Čiže v oboch extrémoch bude rýchlosť šíriacej sa dominovej vlny nulová a niekde medzi tým sa bude diať niečo zaujímavé. Graf závislosti rýchlosti vlny od vzdialeností kociek \(d\) bude teda s najväčšou pravdepodobnosťou „kopec s jedným maximom“,¹ nie je dôvod, aby tam bola nejaká jama (lokálne minimum) navyše. A samozrejme prešmykovanie kociek pri otáčaní alebo iné drobné efekty by výsledok kvalitatívne nemali zmeniť.

No a prejdime k samotnému meraniu. My sme použili dominové kocky s rozmermi \(\SI{50}{\milli\metre} \times \SI{25}{\milli\metre} \times \SI{8}{\milli\metre}\). Samozrejme bolo možné použiť akékoľvek kocky, dôležité bolo, aby mali všetky rovnaké rozmery. Rozmery kociek (výška a hrúbka) totiž iba určujú interval rôznych \(d\), na ktorom možno merať nenulové rýchlosti šíriacich sa dominových vĺn. Pred každým rozostavením kociek sme si vyznačili na tabuľu fixou polohy jednotlivých kociek (toto je dôležité, vrátime sa k tomu, keď budeme hovoriť o chybách merania). Následne sme kocky rozostavili. Drcli sme do prvej kocky a dvoma zosynchronizovanými kamerami, jednou na začiatku a druhou na konci radu kociek, sme merali čas pádu celého radu. Samozrejme stačilo použiť stopky a voľné oko, ale potom bolo treba chybu aj patrične odhadnúť.

Takto sme spravili dve merania pre sedem rôznych rozostupov kociek \(d\). Zvolili sme si rôzne dlhé merané úseky \(l\). Samozrejme, čím dlhšie, tým lepšie, ale dôvody sme na to mali dva. Jednak sa na tom pri spracovaní výsledkov niečo naučíme, a dvak, merali sme to na viackrát, boli sme trochu neporiadni a leniví. No a nakoniec sme vypočítali rýchlosť šírenia sa vlny ako podiel dĺžky meraného úseku \(l\) a času od prvého drcnutia po pád poslednej kocky \(t\), čiže základoškolsky \(v=\frac{l}{t}\). Výsledky sme zaznamenali do tabuľky nižšie.

No a teraz sa pozrime na to, aké chyby sme mohli spraviť pri meraní a ako sme ich mohli minimalizovať. Keď hovoríme o chybách merania, respektíve niekedy môžete počuť označenie neistoty merania, štandardne ich rozdeľujeme na dve skupiny, tzv. typ A a typ B.

Typ A pochádza zo štatistického spracovania nameraných údajov pri rovnakých podmienkach. V našom prípade sme používali rovnaké kocky, rovnaké meracie zariadenia, ale ak sme pri stavaní dominového radu umiestnili kocky trošku krivo, do prvej kocky sme drcli trošku viac ako bolo potrebné alebo nám iba zafúkal vietor, tak všetko nám to prispelo rozptylu nameraných rýchlostí pre jednotlivé pády kociek. Tento príspevok k neistote merania spočítame ako smerodajnú odchýlku \(s_a\) od priemeru meraní \(\langle x \rangle\), ktorú poznáte asi aj zo školy \[ s_A = \sqrt{\frac{1}{N(N-1)} \sum_{1}^{N} (x_i-\langle x \rangle)}, \] kde \(N\) je počet meraní a \(x_i\) je nameraná hodnota v \(i\)-tom meraní, v našom prípade rýchlosť. Je jasne vidieť, že čím viac meraní zopakujeme, tým túto chybu minimalizujeme. Žiaľ, my sme pre každé \(d\) spravili iba dve merania, takže táto chyba nám vyjde veľká.

Neistota merania typu B pochádza z presnosti použitých meracích postupov a prístrojov. Jej odhad ilustrujeme na našich meraniach. My sme poznali polohu každej dominovej kocky v rade presnosťou \(\SI{1}{\milli\metre}\), s tým, že sme kontrolovali aj celkovú dĺžku radu. Keby sme kocky rozostavovali tak, že postavíme kocku, odmeriame \(d\), postavíme ďalšiu kocku, odmeriame \(d\)…, tak by táto neistota v meraní dĺžky bola pri každom meraní prenásobená počtom použitých dominových kociek. Čas pádu celého dominového radu sme merali s presnoťou trvania jedného „frejmu“ na kamere, čiže \(\frac{1}{24} \si{\second}\). No a ako z tohto určiť neistotu pre rýchlosť? No predsa podľa pravidiel šírenia neistôt merania. Keď sčítavame/odčítavame rovnaké typy veličín, tak sa sčítavajú absolútne neistoty, a keď robíme súčin/podiel dvoch veličín, tak sa sčítavajú relatívne neistoty. Keďže priemernú rýchlosť každého dominového pádu spočítame ako prejdenú dráhu za celkový čas pádu, tak najprv musíme určiť absolútne neistoty prejdených dráh a časov pádu. V našom prípade je absolútna neistota každej meranej dráhy \(\SI{2}{\milli\metre}\), pretože máme neistotu v polohe začiatku aj konca. Veľmi podobne máme neistotu v čase začiatku a konca pádu jeden frejm, takže celková neistota času pádu bude \(\frac{2}{24} \si{\second}\). Rýchlosť je podielom, takže iba pre každé meranie spočítame realtívne neistoty dráhy, času a nakoniec aj rýchlosti, z čoho absolútnu neistotu získame prenásobením príslušnou rýchlosťou. Ako posledný krok treba určiť túto neistotu pre priemer. Tu si treba uvedomiť, že zvýšeným počtom meraní túto neistotu neznížime, pretože počet meraní neovplyvňuje presnosť meracích prístrojov. Pre každé \(d\) preto odhaneme neistotu merania typu B pre priemernú rýchlosť tou väčšou neistotou z tých dvoch, ktoré sme dostali pre každá meranie.

Áno, pravidlá propagácie neistôt môžu byť na prvý pohľad pomerne komplikované a ťažko sa pamätajú, no stačí vedieť, kde ich nájsť. Napríklad sa na ne odkazujeme na našejstránke v časti Ako riešiť.

A na záver treba ešte tieto neistoty dvoch typov spojiť do jednej neistoty \(s\), a to sa štandardne robí ako \(s=\sqrt{s_A^2+s_B^2}\). Bez toho, aby sme dávali do vzoráku ďalšiu dlhú tabuľku, zobrazíme priemerné rýchlosti ako body v grafe a neistotu \(s\) ako príslušné chybové úsečky.

Ako môžete vidieť, naše domino sa správalo tak, ako sme predpokladali, graf rýchlosti pádu domina, resp. šírenia sa dominovej vlny, je kopec s jedným maximom. Žiadne namerané hodnoty neulietavajú a vypočítaná neistota je pod \(10 \%\), čo vzhľadom na dve merania pre každé \(d\) nie je veľa. Ďalekosiahle závery z toho robiť nebudeme, keďže by sme toho museli namerať oveľa viac a zadanie to od nás ani nechce. Úlohu prehlasujeme za splnenú a želáme veľa šťastia a trpezlivosti pri ďalšej experimentálke. Hough!

Aha, a nebojte sa, pri hodnotení nám postačilo, ak ste popísali príčiny neistôt merania a spravili jednoduchú štatistiku, čiže spravili odhad neistôt typu A :)

Poznámka opravovateľa: Vo všeobecnosti bola kvalita spracovania experimentu nižšia, než by som si želal (hoc som sa rozhodol hodnotiť pomerne milosrdne). Chcel by som sa preto vyjadriť k niekoľkým veciam, ktoré by som od vás v deväťbodovom riešení očakával, konkrétne v tejto úlohe.

Zreprodukovateľnosť – experiment by mal obsahovať postup, ako ste ho vykonali. Tento postup by mal byť taký detailný, že ak by ste dali svoje pomôcky niekomu inému, ten by podľa postupu zvládol vykonať experiment takmer identicky ako vy. Toto je veľmi dôležitá vlastnosť, ktorú by vaše riešenie experimentálky FKS malo mať. Pomôže vám to získať viac čiastkových bodov, lebo opravovateľ minimálne vie, čo ste sa to vlastne snažili robiť.

Snaha o čo najvyššiu presnosť – sem patrí opakovanie meraní pre každé \(d\), prípadne hľadanie spôsobov, ako znížiť relatívnu neistotu meranej veličiny (v tomto prípade rýchlosti), napríklad pomocov veľmi dlhého radu domino kociek a podobne.

Práca s neistotou/chybou merania – a to kvalitatívna (čo ju spôsobuje), aj kvantitatívna (aká veľká výsledne je). Dobré štatistické spracovanie odchýlky, napr. použitie štandardnej odchýlky ak rátam neistotu náhodnej veličiny. To sa týka najmä výslednej veličiny, ktorú chceme merať. Čerešničkou na torte sú error-bary v prípadnom grafe.

Meranie správnej veci – čo sa v tejto úlohe často ukázalo ako problematické. Ak od vás očakávame nejakú rýchlosť, jednotka tejto veličiny je prirodzene meter za sekundu. Uznal som aj nameranie a závislosť trvania pádu jedného domina, ak to niekto urobil. Prosím, poriadne čítajte, čo sa od vás chce a ak si nie ste istí, napíšte na [email protected]. Radi vám dovysvetlíme zadanie.

Fyzikálna korektnosť – špeciálne v tejto experimentálke sme nevyžadovali priveľa teórie (nakoľko je fakt veľmi komplikovaná), i keď nejaké zamyslenia sa dali urobiť. Spadá sem aj korektnosť prevedenia experimentu (teda nerobenie hrubých chýb) a spája sa aj s ďalším bodom.

Komentár k výsledku – ak ste mali nejakú hypotézu, vyjadrite sa, či sa potvrdila. Ak sa nepotvrdila, nenapíšte, že sa potvrdila! Ak nie, zhodnoťte, čo výsledok hovorí. Špeciálne v tejto úlohe, vyjadrite sa, aká by asi mohla byť finálna závislosť. Môžete skúsiť vymyslieť aj teóriu, prečo je výsledok práve taký, aký je. Všetko toto by malo byť vrámci bodu vyššie. Doplním ešte, že v tejto úlohe pod túto sekciu spadá aj to, ako dobre ste preukázali závislosť. Ak ste namerali rýchlosť pre dve či tri rôzne \(d\), ťažko možno hovoriť, ako sa závislosť všeobecne správa. Platí tu čím viac, tým lepšie.

Týmto by som chcel (s ich súhlasom) pochváliť riešenia Julky Mnichovej a Miška Tomagu, ktorí získali z úlohy 9 bodov (detaily sa ale dajú vždy zlepšovať) a kvalita ich riešení je porovnateľná (ak nie lepšia) so vzorovým riešením – môžete sa ich skúsiť spýtať, či by vám poslali svoje opravené riešenie pre inšpiráciu. H.