2. S krúpami o preteky vzorové riešenie

Krúpy všetci poznáme a netešíme sa keď nás zastihnú napríklad na zastávke. Ale kabriolet? Ešte horšie. No poďme pomôcť Kubkovi byť šikovný a vyhnúť sa im.

Krúpu si vieme predstaviť ako guľôčku ľadu. Keď krúpa padá z oblohy, pôsobia na ňu dve sily – tiažová, ktorá ju ťahá nadol a sila odporu vzduchu, ktorá pôsobí proti smeru pohybu a teda nahor.

Tiažovú silu vieme vyjadriť ako \(F_t = mg\), kde \(m\) je hmotnosť krúpy a \(g\) je tiažové zrýchlenie. Hmotnosť gule so známou hustotou vieme vyjadriť ako \(m=V\rho_l=\frac{4}{3}\pi r^3 \rho_l\) a tiažová sila bude \(F_t = g \rho_l \frac{4}{3}\pi r^3\). \(\rho_l\) je hustota ľadu, z ktorého je krúpa – použijeme hodnotu \(\SI{920}{\kilogram\per\metre\cubed}\). \(r\) je polomer guľôčky, v našom prípade budeme riešiť takú bežnú, polcentimetrovú krúpu, teda \(r = \SI{0.25}{\centi\meter}\).

Odporovú silu zas ako \(F_{od} = \frac{1}{2}CS\rho_v v_k^2\). Čo však znamenajú jednotlivé parametre tu?

• \(C\) je odporový koeficient; určuje sa experimentálne a závisí len od tvaru telesa – guľa je našťastie dosť bežný tvar a tak vieme, že pre guľu je v závisloti od drsnosti povrchu hodnota medzi \(\num{0.1}\) a \(\num{0.4}\) – my použijeme hodnotu \(C = \num{0.2}\)
• \(S\) je plocha prierezu padajúceho telesa – v prípade gule je to obsah kruhu s polomerom \(r\), teda \(s=\pi r^2\);
• \(\rho_v\) je hustota prostredia, v ktorom teleso padá, teda pre nás hustota vzduchu \(\rho_v \approx \SI{1.293}{\kilogram\per\metre\cubed}\);
• \(v_k\) je rýchlosť, ktorou krúpa padá.

Keďže krúpa padá voľným pádom, jej rýchlosť neustále narastá – pôsobí na ňu konštantná sila \(F_t\) a tá ju zrýchľuje. S rýchlosťou ale narastá aj odporová sila, ktorá ju brzdí. V istom momente sa tak dostaneme do stavu \(F_{od}=F_t\) – vtedy sú obe sily vyrovnané a výslednica síl na krúpu pôsobiacich je nulová. Podľa prvého Newtonovho zákona (zákona zotrvačnosti) vieme, že ak výslednica síl na teleso pôsobiacich je nulová, toto zotrváva v pokoji (to nebude náš prípad), alebo v rovnomernom priamočiarom pohybe. Znamená to, že rýchlosť krúpy (a tým ani odporová sila!) sa už nebude meniť. Takáto rýchlosť sa nazýva terminálna rýchlosť a vieme ju vypočítať ako \[ \begin{aligned} F_{od} &= F_t\\ \frac{1}{2} CS\rho_v v_k^2 &= m g\\ \frac{1}{2} C \pi r^2 \rho_v v_k^2 &=\frac{4}{3} g \rho_l \pi r^3\\ v_k^2 &= \frac{8}{3} \frac{g \rho_l \pi r^3}{C \pi r^2 \rho_v}\\ v_k &= \sqrt{\frac{8}{3} \frac{g \rho_l r}{C \rho_v}} \end{aligned} \]

Ale my všetky parametre poznáme, poďme teda zrátať rýchlosť! Po dosadení hodnôt zo vzorca vyjde hodnota \(v_k=\SI{15}{\meter\per\second}\), čo je rýchlosť, ktorou krúpa dopadá na zem… alebo na auto. Čo ale v aute? Ako dobre chráni vodiča jeho sklo? Nie ste jediní, ktorí kabriolet videli len na fotke, preto sme si vhodnú fotku našli na internete.

Predstavme si krúpu v niektorom momente práve na vrchu skla. Auto sa rovnomernou rýchlosťou hýbe dopredu, krúpa zas nadol. Ak si hlavu vodiča predstavíme ako bod, potom krúpe unikne vtedy, ak za čas, za ktorý krúpa prejde smerom nadol od vrchu skla k hlave vodiča, auto zabezpečí vodičovi únik. Inak povedané, ak za čas, kým krúpa spadne vodičovi na hlavu, auto ho odnesie dosť dopredu na to, aby už nebol v dráhe krúpy.

Potrebné geometrické rozmery odhadneme z fotky – nazvime tieto vzdialenosti, vodorovnú a zvislú, ako \(s_x\) a \(s_y\), vieme ich odhadnúť napríklad ako \(s_x\approx\SI{50}{\centi\metre}\); \(s_y\approx\SI{15}{\centi\metre}\)

Pre časy musí platiť \(\frac{s_x}{v_{\mathrm{auto}}}<\frac{s_y}{v_k}\) a teda \(v_{\mathrm{auto}} > \frac{s_x}{s_y} v_k\), čiže minimálna rýchlosť auta vyjde okolo \(v_{\mathrm{auto}}=\SI{50}{\meter\per\second}\).

Pri danej rýchlosti Kubko utečie krúpe, ale uvidíme, či aj policajtom.