Zadanie

Silvester sa blíži. Vedúci FKS si už začali zajednávať chatu na to, že pôjdu pártiť1. Našli si chatu pre \(10\) ľudí – zhruba toľko aktívnych vedúcich má FKS. Strávia na nej dve noci a budú si kúriť v krbe. V niektorých z nich sa ale vyrojili obavy z toho, či na chate nepomrznú. Odhadnite, koľko dreva budú potrebovať, aby boli na chate v príjemnom teplúčku. Skúste odhadnúť a kvantifikovať všetky faktory, ktoré by na to mohli mať vplyv. Ak sú niektoré z nich zanedbateľné, zdôvodnite, prečo sú zanedbateľné.


  1. Budú v režime zaočkovaní.↩︎

Postup riešenia tohto príkladu je pomerne jednoduchý. Zistíme, koľko tepla z chaty unikne, od toho odpočítame teplo dodané chate inými spôsobmi ako kúrením v krbe, a tento rozdiel prepočítame cez výhrevnosť dreva na jeho hmotnosť, aby sme vedeli, koľko ho musíme spáliť v krbe.

Chata môže strácať teplo najmä dvomi spôsobmi – vedením tepla cez steny chaty, a sem tam treba aj vyvetrať, čím teplý vzduch uniká a na jeho miesto prichádza studený. Spočítať tepelné straty vetraním vieme pomocou vzťahu \(Q = m c_v \Delta T\), kde \(m\) je hmotnosť studeného vzduchu, ktorý vstúpil do chaty, \(c_v\) je tepelná kapacita pri stálom objeme1 a \(\Delta T\) je rozdiel medzi pôvodnou vonkajšou teplotou vzduchu a teplotou, na ktorú ho musíme zohriať, aby bolo v chate príjemne teplúčko.

Pre vedenie tepla existuje vo fyzike rovnica vedenia tepla. Je diferenciálna, parciálna a druhého rádu. S pár zjednodušeniami je však jej riešenie jednoduché, ba priam až intuitívne. Prvým zjednodušením je, že teplu prikážeme šíriť sa cez steny len v smere kolmo na povrch stien. Druhé zjednodušenie je, že vonkajšia aj vnútorná strana steny budú mať po celý čas konštantnú teplotu. Potom za čas \(\delta t\) unikne cez stenu s plochou \(S\) a hrúbkou \(l\) teplo \[ Q = \lambda \frac{S \Delta T}{l} \Delta t, \qquad(1)\] kde \(\Delta T\) je rozdiel teplôt medzi vnútorným a vonkajším povrchom steny a \(\lambda\) je koeficient tepelnej vodivosti materiálu steny. Naozaj to je intuitívne – čím väčšiu máme stenu a čím väčší je rozdiel teplôt, tým viac tepla unikne, a naopak ak máme hrubšiu stenu, tým menej tepla unikne. Ak máme dostatočne veľké steny, tak teplo cez ne zväčša naozaj prúdi kolmo na povrch stien. Niekde v rohoch to tak už nie je, ale je to zanedbateľný efekt voči zvyšku steny.

Ako už určite tušíte po prečítaní prvého odseku, chata sa dá zohriať aj inakšie ako kúrením v krbe. Televízory či notebooky aj s nabíjačkou mávajú výkon asi \(\SI{100}{\watt}\), sporák má pri plnom výkone aj niekoľko \(\SI{}{\kilo\watt}\). Keď spoza mrakov vykukne Slnko, tiež dokáže príjemne ohriať. V chate je však aj 10 ľudí, ktorých si môžeme aproximovať ako 10 absolútne čiernych telies. Plocha človeka je približne \(S = \SI{2}{\metre\squared}\) a teplota pokožky \(T_p = \SI{33}{\celsius}\). Podľa Stefanovho-Boltzmannovho zákona tak človek vyžaruje tepelné žiarenie s výkonom \(P_out = S \sigma T_p^4 \approx \SI{1000}{\watt}\). Prvé upozornenie: \(T_p\) je termodynamická teplota, ktorú dosádzame v kelvinoch. Druhé upozornenie: keď sa nachádzame v chate, t. j. v príjemnom teplúčku \(T_0 = \SI{25}{\celsius}\), všetko okolo nás takisto vyžaruje tepelné žiarenie, ktoré my prijímame ako výkon \(P_in\). V skutočnosti teda človek stráca teplo výkonom \(P = P_out - P_in = S \sigma (T_p^4 - T_0^4) \approx \SI{100}{\watt}\), ktorým vlastne vykuruje chatu.

S mechanizmami ochladzovania a zohrievania chaty sme už oboznámení, poďme teda odhadnúť relevantné veličiny. 10 ľudí by rado malo tri alebo štyri miestnosti na spanie, kuchyňu, nejakú spoločnú miestnosť, stolný futbal taktisto zaberá dosť miesta. Hrubým odhadom, nech má chata štvorcový pôdorys so stranou dlhou \(\SI{8}{\metre}\), dve poschodia, teda výšku \(\SI{6}{\metre}\), a horné poschodie je menšie a má šikmý strop, lebo každá chata má predsa šikmú strechu. Vonkajšia plocha dolného podlažia je teda \(4 \cdot \SI{8}{\metre} \cdot \SI{3}{\metre} = \SI{96}{\metre\squared}\). Horné poschodie môže mať vonkajšiu plochu \(\SI{60}{\metre\squared}\). Keďže pôdorys chaty má \(\SI{64}{\metre\squared}\), tak šikmá strecha musí mať viac, asi takých \(\SI{94}{\metre\squared}\), aby vonkajšia plocha chaty mala obsah rovných \(\SI{250}{\metre\squared}\). Avšak nesmieme zabudnúť na okná, ktoré sú z iného materiálu ako steny, a teda majú iný koeficient tepelnej vodivosti \(\lambda\). Tie by mohli mať obsah približne \(S_\mathrm{okno} = \SI{25}{\metre\squared}\). Preto steny majú plochu \(S_\mathrm{stena} = \SI{225}{\metre\squared}\). Teplo nemusí unikať len von, môže ísť aj do zeme cez podlahu, tá má už spomínaných \(S_\mathrm{podlaha} = \SI{64}{\metre\squared}\) ako pôdorys.

Koeficienty tepelných vodivostí môžeme nájsť, ako obvykle, na Wikipédii2. Hodnoty samozrejme závisia od mnohých faktorov, ale môžeme si vybrať nejaké priemerné hodnoty pre tehly \(\lambda_\mathrm{tehla} = \SI{0.7}{\watt\per\metre\per\kelvin}\) a bude tam určite aj nejaká izolácia s \(\lambda_\mathrm{izolácia} = \SI{0.04}{\watt\per\metre\per\kelvin}\). Keby sme odhadli hrúbky tehál a izolácie, vedeli by sme spočítať aj efektívny koeficient tepelnej vodivosti steny, ale ten môžeme rovno odhadnúť \(\lambda_\mathrm{stena} = \SI{0.1}{\watt\per\metre\per\kelvin}\). Do rovnice 1 potrebujeme poznať aj hrúbku steny, ktorá nech je \(l_\mathrm{stena} = \SI{0.5}{\metre}\). Podlaha pod linoleom či parketami môže byť na betónovej základovej doske hrubej \(l_\mathrm{podlaha} = \SI{1}{\metre}\) a pre koeficient tepelnej vodivosti betónu nájdeme hodnotu \(\lambda_\mathrm{podlaha} = \SI{1.3}{\watt\per\metre\per\kelvin}\). Pri oknách to je trochu inak, tam sa udáva koeficient, ktorý už v sebe má zarátanú3 hrúbku okna a opisuje celkové tepelné straty, teda vedením aj žiarením cez okno. Pre dvojvrstvové okno to je \(\lambda_\mathrm{okno} = \SI{2}{\watt\per\metre\squared\per\kelvin}\). V rovnici 1 vystupuje aj rozdiel teplôt. Príjemné teplúčko sme už definovali ako \(T_0 = \SI{25}{\celsius}\), ale vonku sa teplota počas dňa mení. Použijeme preto priemernú teplotu vonku, ktorá nech je \(T_1 = \SI{-5}{\celsius}\), teda rozdiel teplôt je \(\SI{30}{\celsius}\). Nezabudnime ani na to, že betón pod podlahou siaha meter pod zem, kde už nie je \(\SI{-5}{\celsius}\), ale o pár stupňov teplejšie, teda pre podlahu bude rozdiel teplôt odhadom \(\Delta T_2 = \SI{25}{\celsius}\). Po dlhom odhadovaní môžeme konečne niečo spočítať, konkrétne koľko tepla stratí chata vedením tepla. Vypočítame, koľko tepla unikne za čas \(\Delta t\) cez jednotlivé povrchy podľa rovnice 1 a sčítame ich. \[ Q_\mathrm{vedenie} = \lambda_\mathrm{stena} \frac{S_\mathrm{stena} \Delta T_1}{l_\mathrm{stena}} \Delta t + \lambda_\mathrm{okno} S_\mathrm{okno} \Delta T_1 \Delta t + \lambda_\mathrm{podlaha} \frac{S_\mathrm{podlaha} \Delta T_2}{l_\mathrm{podlaha}} \Delta t = \SI{4930}{\watt} \Delta t. \] Dĺžka pobytu na chate je \(\delta t = \SI{48}{\hour}\), čo nám vo výsledku dáva uniknuté teplo \(Q_\mathrm{vedenie} \approx \SI{8.52e8}{\joule}\).

Keď sa teraz pozrieme na vetranie, zistíme, že je zanedbateľné oproti \(Q_\mathrm{vedenie}\), pretože aj ak by sme celú chatu vychladili na \(\SI{-5}{\celsius}\) a chceli vykúriť naspäť na príjemných $, tak pri objeme \(V = \SI{300}{\metre\cubed}\), hustote \(\rho = \SI{1.2}{\kilo\gram\per\metre\cubed}\) a tepelnej kapacite pri stálom objeme \(c_v = \SI{718}{\joule\per\kilo\gram\per\kelvin}\) vzduchu nám stačí teplo \(Q_\mathrm{vetranie} = m c_v \Delta T = V \rho c_v \Delta T \approx \SI{7.75e6}{\joule}\), čo je o dva rády menej než \(Q_\mathrm{vedenie}\) a za dva dni v zime určite nevyvetráme až toľko, aby to bolo porovnateľné s jednorazovým vychladením celej chaty na \(\SI{-5}{\celsius}\).

Teraz sa môžeme presunúť k vykurovaniu. Už sme spočítali, že jedna osoba vykuruje chatu výkonom \(\SI{100}{\watt}\), ale osoba chodí aj von na prechádzku, postaviť snehuliaka, guľovať sa a iné. Z dvojdňového pobytu tak chatu 10 osôb svojou prítomnosťou vykuruje asi po čas \(\Delta t = \SI{44}{\hour}\), to je teplo \[ Q_\mathrm{osoba} = 10 \cdot \SI{100}{\watt} \cdot \SI{44}{\hour} \approx \SI{1.58e8}{\joule}. \]

Elektrospotrebiče – televízor, notebooky, nabíjačky aj žiarovky a chladnička4 nech bežia dokopy \(\SI{24}{\hour}\)5 s priemerným výkonom spolu \(\SI{500}{\watt}\), tým dodajú chate \[ Q_\mathrm{elektro} = \SI{4.32e7}{\joule}. \]

Pre jeho veľký výkon, sporák spočítame samostatne. Výkon síce môže byť niekoľko \(\SI{}{\kilo\watt}\), ale ak chceme to jedlo jesť a nie zoškrabávať z dna hrnca, z výkonu trochu uberieme, rádovo na $, a počas \(\SI{6}{\hour}\) varenia nás tak okrem obeda poteší aj dodaným teplom \[ Q_\mathrm{sporák} = \SI{1000}{\watt} \cdot \SI{6}{\hour} = \SI{2.16e7}{\joule}. \]

Môže to znieť zvláštne, ale aj v zime nám vie Slnko poriadne prikúriť. Poznáme solárnu konštantu \(\SI{1361}{\watt\per\metre\squared}\), ktorá však bola nameraná mimo atmosféry a k nám dole prichádza asi $ celkovej energie zo Slnka. Do chaty nám svieti cez okná, ale iba cez tie, ktoré sú na južnej strane, čiže asi polovica z celkových \(\SI{25}{\metre\squared}\). Okrem toho, ak chata stojí rovno, tak Slnko nám nesvieti kolmo cez okná, ale z nejakého uhla, a efektívne teda slnečné lúče prechádzajú menšou plochou, odhadnime to ako \(\num{0.75}\) – násobok veľkosti plochy. S týmto by sme sa mohli ešte pohrať a pridať aj ďalšiu konštantu vyjadrujúcu množstvo svetla, ktoré okno odrazí naspäť, ale dôležitejšie je, koľko hodín slnečného svitu dostaneme. Napríklad v Poprade6 to je \(\SI{2.5}{\hour}\) za deň. Počas dvojdňového pobytu nám teda Slnko dodá \[ Q_\mathrm{Slnko} = \num{0.7} \cdot \SI{1361}{\watt\per\metre\squared} \cdot \frac{1}{2} \cdot \SI{25}{\metre\squared} \cdot \num{0.75} \cdot \num{2} \cdot \SI{2.5}{\hour} \approx \SI{1.61e8}{\joule}. \] Konečne sa dostávame k otázke, koľko dreva potrebujeme. Predsa toľko, aby sme jeho spálením získali toľko tepla, koľko je rozdiel medzi uniknutým a dodaným teplom. Staré známe modré Matematické, fyzikální a chemické tabulky pro střední školy udávajú výhrevnosť dreva \(H = \SI{1.6e7}{\joule\per\kilo\gram}\) a rýchly prieskum trhu ukazuje, že účinnosti krbov sa pohybujú okolo \(\eta = \num{0.75}\). Spálením dreva hmotnosti \(m\) potrebujeme získať teplo \[ \eta m H = Q_\mathrm{vedenie} - Q_\mathrm{osoba} - Q_\mathrm{elektro} - Q_\mathrm{sporák} - Q_\mathrm{Slnko}, \] teda potrebujeme \[ m = \frac{Q_\mathrm{vedenie} - Q_\mathrm{osoba} - Q_\mathrm{elektro} - Q_\mathrm{sporák} - Q_\mathrm{Slnko}} {\eta H} \approx \SI{39}{\kilo\gram} \] dreva. To je pomerne uveriteľné číslo na to, koľko rôznych hodnôt sme odhadovali. Vidíme, že tepelné straty chaty možno takmer výhradne pripísať vedeniu tepla, a ak by majiteľ chaty myslel na izoláciu podlahy, nepotrebovali by sme spáliť toľko dreva. Tým vlastne chceme povedať, že konečné číslo nie je až také dôležité. Pokiaľ nám ale vyšla tona dreva alebo naopak, že by sme chatu museli stále ochladzovať, je jasné, že sme na niečo zabudli, resp. zle odhadli.

Pri výpočte sme veľa vecí zanedbali, napríklad, že ruky si umývame teplou vodou, ale ona aj hneď odtečie, a tak nestihne takmer vôbec ohriať chatu. Alebo keď sa sprchujeme, tak tam je prítomná aj nejaká ventilácia kvôli vlhkosti, ktorá ale odnáša preč aj teplo, a kozmické mikrovlnné pozadie so jeho biednymi \(\SI{2.7}{\kelvin}\) akiste môžeme tiež zanedbať.


  1. Pri plynoch totižto poznáme aj tepelnú kapacitu pri stálom tlaku \(c_p\), ale po zavretí okna sa vzduch v miestnosti ohrieva pri stálom objeme, ktorý je daný veľkosťou miestnosti.↩︎

  2. https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_thermal_conductivities↩︎

  3. Všimnite si, že tento koeficient má preto inú jednotku ako predchádzajúce.↩︎

  4. Tam vzadu je teplá.↩︎

  5. Beží vám chladnička? Možno práve teraz nie, pretože chladí iba vtedy, keď je v nej vo vnútri príliš teplo.↩︎

  6. https://www.shmu.sk/sk/?page=1786&id=&identif=11934&rok=2021&obdobie=1981-2010↩︎

Diskusia

Tu môžte voľne diskutovať o riešení, deliť sa o svoje kusy kódu a podobne.

Pre pridávanie komentárov sa musíš prihlásiť.