3. Spring is coming vzorové riešenie

Na začiatok treba podotknúť, že zadanie dovoľovalo dve interpretácie, z ktorých jedna bola o dosť jednoduchšie vypočítateľná. Preto nezúfajte ak nemáte veľa bodov. Prvé riešenie sa dalo použiť pri interpretácii, keď obe pružiny v zadaní boli na stole položené zvislo, a teda boli obe v stlačenom stave.

Ako sa správa hmotná pružina s nenulovou pokojovou dĺžkou? Môžeme sa na ňu pozrieť ako na mnoho rovnakých kratších pružiniek, spojených za seba. Silou, ktorá konkrétnu pružinku stláča, je v našom prípade tiaž pružiniek, ktoré sa nachádzajú nad ňou.

Malý kúsok pružiny na samom vrchu teda nebude stlačený vôbec. Stlačenie sa bude postupne lineárne zvyšovať¹ až po spodok. Hmotná pružinka sa teda nespráva ako nehmotná pružinka so závažím.

Ako sa teda skráti celá pružinka po stlačení? Môžeme integrovať výraz typu \(\int\limits_0^L ax \ \mathrm{d} x\); ak nevieme alebo nechceme, nevadí, skrátenie si môžeme predstaviť inak: ku každému kúsku na pružine vieme nájsť druhý „zrkadlový“ kúsok na druhej strane pružiny, ktorý je rovnako vzdialený od jej stredu. Ak sčítame sily, ktoré na tieto dva kúsky pôsobia, dokopy sú vždy rovné tiaži celej pružiny. Výsledné celkové skrátenie je teda presne také isté, ako keby sme mali nehmotnú pružinu s rovnakou pokojovou dĺžkou, stlačenú silou rovnou polovici tiaže našej hmotnej pružiny. Tá je ale takisto úmerná jej dĺžke, takže výsledná závislosť bude až kvadratická. Označme si konštantu úmernosti \(c\). Potom môžeme pre dĺžku stlačenej prvej pružiny \(L_1\) a druhej pružiny \(L_2\) napísať \[ L_1 = L_0 - \frac{1}{2} c L_0^2 \qquad \text{a} \qquad L_2 = 2 L_0 - \frac{1}{2} c \left(2 L_0\right)^2. \]

Možno to tak nevyzerá, ale už máme všetko, čo potrebujeme: stačí tieto rovnice odčítať, presnejšie polovicu druhej od prvej. Dostaneme \(L_1 - \frac{1}{2} L_2 = \frac{1}{2} c L_0^2\). Pri zavesení zo stropu sa každý element bude správať rovnako, až na znamienko (každý kúsok sa namiesto skracovania bude rovnako predlžovať) a orientáciu (najviac sa natiahnu kúsky pri strope, najmenej tie naspodu pružiny). Výsledná dĺžka je potom \[ L_0 + \frac{1}{2} c L_0^2 = L_0 + L_1 - \frac{1}{2} L_2 = 3L_1 - L_2, \] pričom výraz \(\frac{1}{2} c L_0^2\) nemusíme vyhodnocovať. Po dosadení hodnôt zo zadania nám pre visiacu pružinu vyjde dĺžka \(\SI{304}{\milli\metre}\).

Pri druhej interpretácii je riešenie o niečo zložitejšie, a to keď je prvá pružinka vodorovne na stole s pokojovou dĺžkou \(L_0 = \SI{276}{\milli\metre}\) a druhá pružinka zvislo na stole, stlačená, s dĺžkou \(L_2 = \SI{524}{\milli\metre}\). Pružinku s hmotnosťou \(m\), tuhosťou \(k\) a pokojovou dĺžkou \(L\) si môžeme rozdeliť na \(N\) maličkých pružiniek s hmotnosťou \(\frac{m}{N}\), pričom každý kúsoček má tuhosť \(Nk\) a dĺžku \(\frac{L}{N}\). Keď bude \(N\) dostatočne veľké, hmotnosť jedného kúsočka bude taká malá, že s každým kúsočkom môžeme pracovať ako s nehmotnou pružinkou, pre ktorú platí \(F = -k \Delta L\) kde \(F\) je sila pôsobiaca na pružinku a \(\Delta L\) je dĺžka, o ktorú sa vplyvom pôsobenia sily \(F\) pružinka predĺži/skráti. Celkové skrátenie je súčtom skrátení všetkých pružiniek \(\Delta L = \sum_{i = 1}^{N} \Delta L_i\), a teda sila na \(i\)-tý kúsok pod vplyvom \(i\) pružiniek je \(F_i = i\frac{m}{N}g\) a skrátenie je \(\Delta L_i = \frac{F_i}{Nk}\). Výsledné skrátenie celej pružinky je \[ \Delta L = \sum_{i = 1}^{N} \Delta L_i = \sum_{i = 1}^{N} \frac{i\frac{m}{N}g}{Nk} = \sum_{i = 1}^{N} i\frac{mg}{N^2k} = \frac{mg}{k} \sum_{i = 1}^{N} \frac{i}{N^2} = \frac{mg}{k} \frac{1}{2}, \] s použitím \(\sum_{i = 1}^{N} \frac{i}{N^2} = \frac{N^2}{2N^2}\) ak sa \(N\) blíži k nekonečnu. Keďže pri zavesenej pružinke fyzika funguje rovnako, akurát sa pružinka predlžuje, pre stlačenú druhú pružinku a natiahnutú prvú pružinku dostávame \[ L_2 = 2 L_0 - \frac{2mg}{2\frac{k}{2}} \qquad \text{a} \qquad L = L_0 + \frac{mg}{k}. \]

Po vyjadrení dosadení hodnôt zo zadania nám pre visiacu pružinu vyjde dĺžka \(L = 2 L_0 - \frac{L_2}{2} = \SI{290}{\milli\metre}\).

Na záver ešte vsuvka o tom, ako pracovať s tuhosťou pružín. Keď máme \(N\) nehmotných pružiniek s tuhosťou \(k\) za sebou a zavesíme na ne závažie s hmotnosťou \(m\), každá sa natiahne o \(x\). Pre veľkú pružinku s tuhosťou \(K\) , zloženú z \(N\) pružiniek teda platí \(mg = KNx\), kedže predĺženia sa sčítajú. Pre hociktorú malú pružinku zas platí \(mg = kx\). To znamená, že \(KNx = kx\), a teda \(K = \frac{k}{N}\).