6. ...tak proste zhorelo vzorové riešenie

Hovorca zjavne používa hasiaci prístroj ako raketu. Nevyužíva pritom síce energiu uvoľnenú pri chemickej reakcii ako v obyčajnej rakete, ale iba vnútornú energiu oxidu uhličitého, ktorý je v hasiacom prístroji uskladnený pod vysokým tlakom. Konkrétne hodnoty zadané nemáme, takže si ich nejak realisticky odhadneme: nech Hovorcov hasiaci prístroj obsahuje \(\SI{2}{\kilo\gram}\) \(\mathrm{CO}_2\) pod tlakom \(\SI{5}{\mega\pascal}\) a nech prázdna tlaková fľaša má hmotnosť \(\SI{5}{\kilo\gram}\).

Keď Hovorca otvorí ventil hasiaceho prístroja, molekuly plynu z neho začnú unikať určitou rýchlosťou. Rozdelenie rýchlostí medzi časticami popisuje Maxwell-Boltzmannova distribúcia. Tou sa tu však zaoberať nebudeme, koniec-koncov ide o odhad a skutočná výtoková rýchlosť bude závisieť aj od tvaru trysky, o ktorom nevieme nič.

Ak sa pozrieme na molekuly plynu v hasiacom prístroji, vidíme, že sa navzájom chaoticky zrážajú a odrážajú od stien hasiaceho prístroja. To sa makroskopicky prejavuje ako tlak. Čo znamená, že tento plyn má izbovú teplotu \(T = \SI{300}{\kelvin}\)? Znamená to, že ak by sme v nejakom čase poznali rýchlosť každej jednej molekuly plynu \(v\), ktorý je v termodynamickej rovnováhe, ľahko by sme si spočítali aj kinetickú energiu každej molekuly \(\epsilon\) a aritmetický priemer týchto energií. Teda stredná energia molekuly plynu \(\langle \epsilon \rangle\) zodpovedá nejakej teplote plynu \(T\). Tento vzťah bežne poznáme v podobe \[ \langle \epsilon \rangle \sim \langle v^2 \rangle = \frac{3kT}{m_0}, \] kde \(m_0\) je hmotnosť jednej molekuly. Môžeme si teda plyn zjednodušene predstavovať tak, že každá molekula v ňom sa pohybuje náhodným smerom strednou kvadratickou rýchlosťou \(\sqrt{\langle v^2 \rangle} = v_{\mathrm{rms}}\), čo je oveľa príjemnejšie ako chaos, ktorý tam v skutočnosti vládne.

Nech teraz jedna molekula vyletí cez trysku von. Čo na to povedia ostatné molekuly? Nič, ak považujeme plyn za ideálny. V ňom totiž molekuly interagujú jedine pružnými zrážkami. To, že z nádoby niektoré molekuly unikli, nemá na rýchlosť molekúl zostávajúcich v nádobe žiadny vplyv.¹ A keďže aj po úniku častíc sa zostávajúce častice pohybujú stále rovnakými rýchlosťami plyn v nádobe má stále rovnakú teplotu a každá ďalšia uniknuvšia molekula tiež uniká rýchlosťou \(v_{\mathrm{rms}}\) voči hasiacemu prístroju.

Celková rýchlosť \(V\), ktorú Hovorca získa, sa dá vypočítať pomocou Ciolkovského rovnice \[ V = v_{\mathrm{eff}} \ln \frac{m_z}{m_k}, \] kde \(m_z\) je začiatočná hmotnosť Hovorcu s plným hasiacim prístrojom, \(m_k\) je jeho konečná hmotnosť s prázdnym hasiacim prístrojom a \(v_{\mathrm{eff}}\) je efektívna rýchlosť, s ktorou molekuly vylietajú von. Jej presný vzťah s \(v_{\mathrm{rms}}\) závisí od tvaru trysky a odlišnosti pracovného plynu od ideálnosti, bude však určite vyjadriteľný ako \(v_{\mathrm{eff}} = \alpha \cdot v_{\mathrm{rms}}\) pre nejakú konštantu \(\alpha\) rádovo rovnú jednej. A keď už odhadujeme, prečo nie aj naozaj rovnú jednej.²

Aby sme zistili \(v_{\mathrm{rms}}\), musíme poznať hmotnosť molekuly \(\mathrm{CO}_2\). Tá dokopy obsahuje 44 nukleónov, teda jej hmotnosť je približne \(m_0 = 44 u\). Nech Hovorca v skafandri s prázdnym hasiacim prístrojom spolu vážia \(m_k = \SI{100}{\kilo\gram}\) a na hasiacom prístroji si prečítal, že pôvodne obsahoval \(\SI{2}{\kilo\gram}\) \(\mathrm{CO}_2\). Všetko teda dosadíme do vyjadrenia pre Hovorcovu rýchlosť \[ V \approx \sqrt{\frac{3 \cdot \SI{1.38e-23}{\joule\per\kelvin} \cdot \SI{300}{\kelvin}} {44 \cdot \SI{1.67e-27}{\kilo\gram}}} \ln \frac{\SI{100}{\kilo\gram} + \SI{2}{\kilo\gram}}{\SI{100}{\kilo\gram}} \doteq \SI{8.14}{\metre\per\second}. \]

Hotovo? Ani nie. Hovorcovi predsa ešte ostal v rukách prázdny hasiaci prístroj, ktorý môže použiť ako reaktívnu hmotu a odhodiť ho rovno za seba. Povedzme, že prázdny hasiaci prístroj odhodí rýchlosťou \(\SI{10}{\metre\per\second}\), čím získa ďalšiu rýchlosť \(w\). Pozrieme sa teda na zákon zachovania hybnosti v ťažiskovej sústave, kde sa pred odhodením prístroja Hovorca nepohybuje. Dostaneme \[ \SI{5}{\kilo\gram} \cdot \SI{10}{\metre\per\second} = \left(\SI{100}{\kilo\gram} - \SI{5}{\kilo\gram}\right) w \qquad\Rightarrow\qquad w = \frac{\SI{5}{\kilo\gram}}{\SI{95}{\kilo\gram}} \cdot \SI{10}{\metre\per\second} \approx \SI{0.53}{\metre\per\second}. \]

Hovorca teda získal ďalšiu rýchlosť \(w = \SI{0.53}{\metre\per\second}\) v ťažiskovej sústave, ktorej rýchlosť voči sústave vesmírnej stanice poznáme, pretože práve na tú rýchlosť sa Hovorca urýchlil otvorením ventilu hasiaceho prístroja. Hovorca sa teda pohybuje rýchlosťou \(\SI{8.14}{\metre\per\second} + \SI{0.53}{\metre\per\second} = \SI{8.67}{\metre\per\second}\) od vesmírnej stanice.

Poznámka o ideálnom plyne

Ešte by stálo za zváženie pozrieť sa, ako veľmi sa uvažovaný \(\mathrm{CO}_2\) podobá na ideálny plyn. Jednou z vlastností ideálneho plynu je, že vzdialenosti medzi molekulami sú oveľa väčšie ako veľkosť molekúl, teda že potenciálna energia molekuly voči všetkým ostatným molekulám je zanedbateľná. Veľkosť molekuly si vieme nájsť, podľa Wikipédie je dĺžka väzby medzi kyslíkom a uhlíkom dlhá \(\SI{116}{\pico\metre}\), molekula \(\mathrm{CO}_2\) má takéto väzby dve, teda veľkosť molekuly \(\mathrm{CO}_2\) je \(\SI{232}{\pico\metre}\).

Ak je \(N\) molekúl v nádobe s objemom \(V\), tak na jednu molekulu pripadá objem \(V_0 = \frac{V}{N}\). Ak poznáme celkovú hmotnosť plynu \(m\) a jeho molárnu hmotnosť \(M_m\), tak počet molekúl je \(N = \frac{m}{M_m} N_A\), teda \(V_0 = \frac{V M_m}{m N_A}\). Objem plynu odhadovať nemusíme, pretože poznáme jeho teplotu, tlak aj hmotnosť, a teda objem vypočítame zo stavovej rovnice \[ p V = \frac{m}{M_m} R T \qquad\Rightarrow\qquad V = \frac{m}{M_m} \frac{R T}{p} \]

Po dosadení dostávame do vyjadrenia \(V_0\) a vykrátení \(m\) a \(M_m\) dostávame \[ V_0 = \frac{R T}{p N_A} \]

Zaujíma nás tretia odmocnina z \(V_0\), aby sme z objemu na jednu molekulu dostali dĺžku, ktorú porovnáme s veľkosťou molekuly. Ešte si spomenieme, že \(R = N_A k\), a počítame \[ \sqrt[3]{V_0} = \sqrt[3]{\frac{k T}{p}} = \sqrt[3]{\frac{\SI{1.38e-23}{\joule\per\kelvin} \cdot \SI{300}{\kelvin}} {\SI{5}{\mega\pascal}}} \doteq \SI{939}{\pico\metre}. \]

Toto veruže nie je oveľa viac ako veľkosť molekuly. Náš výpočet založený na predpoklade, že plyn v hasiacom prístroji je ideálny, je teda viac odhad ako presný.