3. Trápna pružná zrážka? vzorové riešenie

Zadanie

Rony priviazal svoj obľúbený hmotný bod s hmotnosťou \(m\) na nenaťahujúcu sa nitku s dĺžkou \(L\). Ak druhý koniec nitky priviaže na pevný záves, hmotný bod priloží k nemu a pustí, nitka ho ihneď po dopade zastaví vo výške \(-L\) pod závesom.

Rony svoj hmotný bod priviazal na klinec vo výške \(h = 0\), vychýlil ho do vodorovnej polohy a pustil. Hmotný bod dokonale pružne narazil do bočnej strany ťažkého stola. Nitka vtedy zvierala so zvislým smerom uhol \(\alpha \leq \ang{42}\). Do akej výšky sa hmotný bod odrazí?

Na prvý pohľad vyzerá naša zrážka veľmi čudne. Veď keď bod narazí pružne do steny, energia by sa mu mala zachovať a mal by vystúpiť do rovnakej výšky. Spisujem do riešenia a odosielam, no nie? V skutočnosti to nie je také ľahké, ako sa javí na prvý pohľad.

Poďme si postupne prejsť, čo sa udeje. Pustíme hmotný bod. Tesne pred nárazom má hmotný bod nejakú rýchlosť, ktorú vieme zrátať zo zákona zachovania energie. Hmotný bod klesne o výšku \(L \cos{\alpha}\), takže zákon zachovania energie má tvar \[ \frac{1}{2} m v^2 = m g L \cos{\alpha}. \]

Preto má hmotný bod tesne pred dopadom rýchlosť s veľkosťou \[ v = \sqrt{2 g L \cos{\alpha}}. \qquad(1)\]

Zíde sa nám mať túto rýchlosť rozpísanú do horizontálnej a vertikálnej zložky, tak to spravme: \[ \begin{aligned} v_x &= v \cos{\alpha}\\ v_y &= v \sin{\alpha}. \end{aligned} \]

Zaveďme súradnice tak, že ich stred bude v mieste, kde je upevnená nitka, s kladným smerom doprava, resp. hore. Potom má vektor \(\vec{v}\) vyjadrenie: \[ \vec{v} = \left(v \cos{\alpha}, -v \sin{\alpha}\right) = v \left(\cos{\alpha}, -\sin{\alpha}\right). \]

Teraz prichádza na rad tá najzaujímavejšia časť – zrážka. Počas zrážky akoby pôsobí na veľmi krátky čas nejaká sila. Keďže hmotný bod narazil z boku, táto sila bude iba vo vodorovnom smere. S vertikálnou zložkou rýchlosti sa tak nemá čo stať. Niečo sa stane iba s horizontálnou zložkou rýchlosti. Lenže sa to stane pružne, t. j. energia hmotného bodu sa nestratí. Preto sa horizontálna zložka rýchlosti musí zmeniť na rovnako veľkú, ale opačne orientovanú. Takže vektor \(\vec{v}\) sa zmení na \(\vec{u}\) v tvare \[ \vec{u} = v \left(-\cos{\alpha}, -\sin{\alpha}\right). \]

Doteraz však mal hmotný bod vektor rýchlosti smer kolmý na nitku. V smere nitky bola jeho rýchlosť nulová. Vektor \(\vec{u}\) už ale nebude mať takýto smer. Tesne po zrážke by preto hmotný bod chcel mať aj nejakú rýchlosť v smere nitky. Tým pádom by sa ale mala nitka o čosi natiahnuť. Nitka je však nenatiahnuteľná, a tak sa táto rýchlosť akoby pohltí¹. Zvyšná časť rýchlosti bude zodpovedná za to, že hmotný bod sa odrazí do nejakej výšky.

Potrebujeme teda zrátať zložku vektora \(\vec{u}\) v smere kolmom na smer nitky. Smer nitky je v smere vektora \[ \vec{l} = \left(-L \sin{\alpha}, -L \cos{\alpha}\right) = L \left(-\sin{\alpha}, -\cos{\alpha}\right). \]

Vektor kolmý na smer nitky (ten v smere, v akom chceme mať rýchlosť) tak bude² \[ \vec{k} = L \left(-\cos{\alpha}, \sin{\alpha}\right). \]

Na výpočet zložky jedného vektora v smere iného vektora je najšikovnejší nástroj skalárny súčin. Konkrétne ak potrebujeme zložku vektora \(\vec{a}\) v smere vektora \(\vec{b}\), jej veľkosť bude \[ \left|\vec{a_b}\right| = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\left|\vec{b}\right|} \] a samotný vektor bude³ \[ \vec{a_b} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\left|\vec{b}\right|} \cdot \frac{\vec{b}}{\left|\vec{b}\right|}. \]

Použitím tohto vieme, že veľkosť zložky vektora \(\vec{u}\) v smere vektora \(\vec{l}\) je \[ \begin{aligned} \left|\vec{u_k}\right| &= \frac{\vec{u} \cdot \vec{k}}{\left|\vec{k}\right|} \\ &= \frac{v L \left(-\cos{\alpha}, -\sin{\alpha}\right) \cdot \left(-\cos{\alpha}, \sin{\alpha}\right)}{L} \\ &= v \left(\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha\right) \\ &= v \cos{\left(2 \alpha\right)}. \end{aligned} \]

Všimnime si zopár vecí na našom výsledku. Ak by bola \(\alpha = \ang{45}\), potom by \(\left|\vec{u_k}\right| = 0\), t. j. bod by sa neodrazil. Všetka rýchlosť tesne po odraze by totiž bola v smere nitky. Pre uhly \(\alpha > \ang{45}\) by dokonca vyšlo \(\left|\vec{u_k}\right|\) záporné. Hmotný bod by tak chcel znova naraziť do steny⁴. V zadaní ale máme predpoklad \(\alpha \leq \ang{42}\), takže tieto divné prípady nás netrápia a všetko sa správa príjemne.

S použitím zákona zachovania energie ako na začiatku vieme zistiť, do akej výšky od miesta zrážky sa hmotný bod odrazí. Pritom už dosaďme 1: \[ \begin{aligned} \frac{1}{2}m v^2 \cos^2 \left(2\alpha\right) &= m g H\\ H &= \frac{v^2 \cos^2 \left(2\alpha\right)}{2 g}\\ H &= L \cos{\alpha} \cos^2 \left(2\alpha\right). \end{aligned} \]

Posledným krokom je vyjadriť výšku, ako sa od nás žiada. Keďže výška \(h = 0\) je tam, odkiaľ sme hmotný bod pustili, odrazí sa do výšky⁵ \[ \begin{aligned} h &= 0 - L\cos{\alpha} + H\\ &= L \left(\cos{\alpha} \cos^2 \left(2\alpha\right) - \cos{\alpha}\right)\\ &= - L \cos{\alpha} \sin^2 \left(2\alpha\right). \end{aligned} \]