6. Fero, kozmický smetiar vzorové riešenie

Začnime všeobecnou palebnou prípravou. Skúsme sa najprv zamyslieť nad charakterom žiarenia, ktoré budú vražedné špendlíkové hlavičky vyžarovať. Ak si ich povrch aproximujeme ako dokonale čierne teleso, ich spektrum bude popísané Planckovým zákonom. V hrubom odhade nás celé spektrum nemusí zaujímať, bude nám stačiť poznať typickú vlnovú dĺžku vyžarovaných fotónov. Tú spočítame jednoducho podľa Wienovho posunovacieho zákona ako \[ \lambda_\mathrm{max} = \frac{b}{T} = \frac{\SI{2.9e-3}{\kelvin\metre}}{\SI{1.5e7}{\kelvin}} \doteq \SI{193}{\pico\metre}. \qquad(1)\]

To sú tvrdé röntgenovské fotóny, z ktorých každý nesie rádovo 3000-krát väčšiu energiu, ako fotóny viditeľného svetla (asi \(\SI{6.2}{\kilo\electronvolt}\)). Takéto žiarenie je skutočne životu veľmi nebezpečné a Ferovi ostáva dúfať, že ho nedostane priveľkú dávku.

Druhá vec, ktorá je v oboch prípadoch rovnaká, je zlomok celkovej vyžiarenej energie, ktorý Fero absorbuje. Guľaté teleso nemá žiadny preferovaný¹ smer vyžarovania a teda žiari do všetkých strán rovnako. Časť, ktorú absorbuje Fero, potom vieme spočítať ako pomer jeho prierezu (ten môžeme odhadnúť ako \(S_\mathrm{Fero} = \SI{0.5}{\metre\squared}\)) k povrchu gule s polomerom \(d = \SI{1000}{\kilo\metre}\), čiže \[ c_\mathrm{Fero} = \frac{S_\mathrm{Fero}}{4 \pi d^2} \approx \num{4e-14}. \qquad(2)\] Fero teda absorbuje iba veľmi maličkú časť vyžiarenej energie.

Posledným dôležitým konceptom je absorbovaná dávka. Bez toho, aby sme šli do biologických detailov, môžeme prijatú energiu prerátať do jednotiek Gray, kde \(\SI{1}{\gray}\) znamená, že \(\SI{1}{\kilo\gram}\) tkaniva absorbuje \(\SI{1}{\joule}\) ionizujúceho žiarenia. Nebezpečné dávky sú rádovo v jednotkách \(\si{\gray}\).

Prvý prípad

V prvom prípade by sme intuitívne mohli cítiť, že špendlíková hlavička hmoty asi nebude obsahovať dostatok energie na ukončenie Ferovho trápenia. Energia je v našom objekte uložená ako teplo, čiže mikroskopická kinetická energia jednotlivých atómových jadier.² Celkové množstvo tepelnej energie určíme ako súčin počtu častíc v špendlíkovej hlavičke a energie na jednu časticu, ktorá je v monoatomárnom plyne rovná \[ E = N E_1 = \frac{3}{2} N k T. \qquad(3)\]

Koľkože je \(N\)? S využitím mad Wikipedia skillz ľahko zistíme, že jadro Slnka je tvorené zo zhruba dvoch tretín héliom \(\Nuclide[4][2]{He}\) a zvyšok je vodík \(\Nuclide[1][1]{H}\), takže priemerná hmotnosť jedného jadra je asi \[ m_0 = \frac{2}{3} \cdot 4u + \frac{1}{3} \cdot u = 3 u \qquad(4)\] a že hustota v jadre je asi \(\SI{150000}{\kilo\gram\per\cubic\metre}\).

Počet častíc je teda \[ N = \frac{m}{m_0} = \frac{\frac{4}{3} \pi r^3 \rho}{m_0} = \frac{ 4 \pi \left(\SI{e-3}{\metre}\right)^3 \cdot \SI{150000}{\kilo\gram\per\cubic\metre} }{ 3 \cdot \SI{1.67e-27}{\kilo\gram} } \doteq \num{1.26e23}. \qquad(5)\]

Celková energia po dosadení do rovnice 3 je \[ E = \frac{2}{3u} \pi r^3 \rho k T \approx \SI{40}{\mega\joule} \qquad(6)\] a teda Fero absorbuje asi \[ E_\mathrm{Fero} = c_\mathrm{Fero} E \approx \SI{1.5e-6}{\joule}. \qquad(7)\]

Ferova hmotnosť je rádovo \(\SI{100}{\kilo\gram}\), a teda dostane dávku asi \(\SI{1.5e-8}{\gray}\). To na ukončenie jeho biologických procesov určite nebude stačiť – väčšie nebezpečenstvo mu hrozí napríklad od toho, že si zabudne obliecť skafander.

Druhý prípad

Druhý prípad je ideovo náročnejší, ale výpočtovo o niečo jednoduchší. Tentokrát nemôžeme použiť hélium (ktoré by sa nám rýchlo rozplynulo), ale imaginárnu nezničiteľnú guličku, ktorá vydrží aj takéto obrovské teploty. Potom nám stačí spočítať, aký výkon na jednotku plochy dostáva Fero v ustálenom stave. Celkový vyžiarený výkon zistíme priamo zo Stefan–Boltzmannovho zákona ako \[ P = 4\pi r^2 \sigma T^4, \qquad(8)\] z čoho Fero opäť absorbuje malú časť, ktorú sme si už vypočítali v rovnici 2. Plošný výkon je \[ \Phi = \left(\frac{r}{d}\right)^2 \sigma T^4 \approx \num{e-18} \cdot \SI{5.67e-8}{\watt\per\metre\squared\per\kelvin\tothe{4}} \cdot \left(\SI{1.5e7}{\kelvin}\right)^4 \doteq \SI{2870}{\watt\per\metre\squared}, \qquad(9)\] čiže približne dvakrát viac, ako dostáva Zem od Slnka. To by sa ešte teoreticky prežiť dalo, keby šlo o neionizujúce žiarenie – röntgenovské žiarenie ale také milosrdné nie je. Stokilový Fero s účinným prierezom \(\SI{0.5}{\metre\squared}\) v tomto prípade absorbuje približne \(\SI{15}{\gray\per\second}\), takže už po jednej sekunde vystavenia žiareniu sú jeho šance na šťastnú a pokojnú starobu minimálne.