5. Riešime len current vzorové riešenie

Pre obvod so striedavým prúdom musí platiť Ohmov zákon v tvare \[ U = ZI, \] kde \(Z\) je tzv. celková impedancia obvodu. Impedancia je veličina, ktorá je zdanlivým odporom obvodu, t. j. práve také „oné“, aby platil Ohmov zákon v uvedenom tvare. Vo všeobecnosti sú v takomto prípade \(U\), \(Z\) aj \(I\) komplexné veličiny, avšak jednoduchým trikom sa im dá bez problémov vyhnúť (ako toto vzorové riešenie ukáže), takže reálnostichtivý čitateľ nemusí vyhľadať lekársku pomoc.

Konkrétne totiž v každom okamihu v obvode platí, že \[ |U| = |Z||I|, \] kde tieto veľkosti sú brané v komplexnom zmysle. Špeciálne však ak má napätie amplitúdu \(U_0\) a prúd amplitúdu \(I_0\), platí vzťah \[ U_0 = |Z|I_0. \]

Zostáva už len čo-to povedať o veličine \(|Z|\) – veľkosti impedancie. Tá je daná na prvý pohľad pomerne jednoduchým vzťahom \[ |Z| = \sqrt{R^2 + X^2}. \]

Na druhý pohľad si čitateľ povie: Čo sú \(R\) a \(X\)? Odpovede sú opäť nie prináročné – \(R\) je celkový odpor v obvode, niečo, s čím je čitateľ už pravdepodobne dôverne oboznámený. Veličina \(X\) je takzvaná reaktancia obvodu. Reaktancia je zdanlivým odporom cievky či kondenzátora v obvode so striedavým prúdom. Správa sa podobne, ako odpor (teda pre sériovo zapojené súčiastky je celková reaktancia súčtom reaktancií súčiastok), pričom nenáročným hľadaním (napríklad za pomoci Wikipédie, kde nájdete i rigorózne odvodenie) zistíte, že ak obvodom preteká striedavý prúd charakterizovaný uhlovou frekvenciou \(\omega\), potom:

• reaktancia cievky s indukčnosťou \(L\) je daná ako \(X_L = \omega L\),
• reaktancia kondenzátora s kapacitou \(C\) je daná ako \(X_C = -\frac{1}{\omega C}\).

Pozrime sa teraz na náš obvod. Máme v ňom ampérmeter (čo je vlastne len rezistor) s odporom \(R\), cievku s indukčnosťou \(L\) a kondenzátor s neznámou kapacitou \(C\). Celková veľkosť impedancie v našom obvode je teda na začiatku \[ |Z_0| = \sqrt{R^2 + \left(\omega L - \frac{1}{\omega C}\right)^2} \] a platí \(U_0 = |Z_0| I_0\).

Následne pridáme ešte jeden sériovo zapojený kondenzátor s kapacitou \(C\). Amplitúda \(U_0\) ani uhlová frekvencia \(\omega\) napätia zdroja sa nezmení a zadanie nám vraví, že ani amplitúda prúdu \(I_0\) sa nezmení. Veľkosť impedancie sa ale zmení na \[ |Z_1| = \sqrt{R^2 + \left(\omega L - 2\frac{1}{\omega C}\right)^2}. \]

Zachovať sa pritom má \[ U_0 = |Z_1|I_0. \]

Táto sústava rovníc (jedna so \(|Z_0|\) a jedna so \(|Z_1|\)) má dve neznáme – \(C\) a \(I_0\) – a môže mať rôzne riešenia v závislosti od \(U_0\). Totižto pre \(U_0 = 0\) je triviálnym riešením \(I_0 = 0\) a ľubovoľné \(C\). Ak ste túto možnosť vo svojom riešení neuviedli, body sme vám nestrhli, ale pozor na to. Úlohu je dobré riešiť všeobecne.

Ďalšie triviálne (i keď trochu hlúpe) riešenie je také, kde \(C = 0\) (čiže náš „kondenzátor“ je vlastne len prestrihnutý drôt), vtedy obvodom prúd nepotečie a impedancia bude mať (ehm ehm) nekonečnú veľkosť, a tak (matematici traste sa!) dokážeme formálne splniť \[ U_0 = \infty \cdot 0. \]

No nie je to krásne? Pridajme preto i sprosté riešenie, kde náš „kondenzátor“ je vlastne len dokonale vodivý drôt, teda by mal nekonečnú kapacitu, niečo typu \(C = \infty\). Vtedy je v oboch prípadoch impedancia rovnaká, nakoľko žiadny kondenzátor (prvý či druhý) neexistuje. Automaticky sa obvod správa rovnako ako keby sme kondenzátor nepridali a teda toto skutočne rieši úlohu, kde prúd má zostať v amplitúde rovnaký. Krása číslo dva. Ak ste tieto dve riešenia nemali, opäť vás strhnutie bodov nečaká, ale i pre vás je tu druhé pozor na to!

No, poďme konečne na nejaké slušné (t. j. tzv. nedegenerované) riešenie. Také bude vskutku jedno, a to bude konkrétne (dostaneme ho fakt poctivým riešením rovníc) \[ C = \frac{3}{2\omega^2 L}. \]