3. Kužeľ z Ivachnovej vzorové riešenie

Zadanie

Patrik našiel niekde v okolí Ivachnovej cestársky kužeľ s hmotnosťou \(m\) a vrcholovým uhlom \(2\alpha\). I veru chytil ho dvomi prstami, pekne jeden oproti druhému.

Akýže musí byť koeficient trenia \(f\) medzi Patrikovými prstami a kužeľom, aby ho dokázal udržať zdvihnutý vo vzduchu?

Pozrime sa najprv na sily, ktoré pôsobia na kužeľ. Prvá je tiažová \(F_g = m \cdot g\) smerom nadol. Ďalšie sú sily \(F_{p1}, F_{p2}\), ktorými na kužeľ kolmo na jeho steny pôsobia Patrikove prsty. No a tretie sú trecie sily \(F_{t1}, F_{t2}\) pôsobiace od miesta dotyku Patrikových prstov s kužeľom pozdĺž hrany kužeľa smerom k jeho vrcholu.

Ak Patrik drží kužeľ tak, že sa nehýbe, výsledná sila \(F\) naň pôsobiaca je nulová, čiže \[ \vec{F} = \vec{F_g} + \vec{F_{p1}} + \vec{F_{p2}} + \vec{F_{t1}} + \vec{F_{t2}} = \vec{0}. \]

Aby sme sa nemuseli hrať so smermi jednotlivých síl, rozdelíme si ich na horizontálne a vertikálne zložky, pričom kladný smer bude smerom doprava, resp. nadol. V horizontálnom smere to budeme mať jednoduché. Tiažová je v horizontálnom smere nulová, zatiaľ čo horizontálne zložky síl \(F_{p1}\) a \(F_{p2}\), resp. \(F_{t1}\) a \(F_{t2}\) sú rovnako veľké a opačného smeru (smerom k osi kužeľa), takže sa navzájom vynulujú.

Vo vertikálnom smere nám pôsobí^{1 2} \[ \begin{aligned} F_g &= m \cdot g, \\ F_{p1v} &= F_{p2v} = F_{p1} \cdot \sin \alpha \\ F_{t1v} &= F_{t2v} = - F_{t1} \cdot \cos \alpha \geq - F_{p1} \cdot f \cdot \cos\alpha. \end{aligned} \]

Ich súčet potom bude \[ \begin{aligned} 0 &= F_g + F_{p1v} + F_{p2v} + F_{t1v} + F_{t2v} \\ &\geq m \cdot g + 2 \cdot F_{p1} \cdot \sin\alpha - 2 \cdot F_{p1} \cdot f \cdot \cos\alpha. \end{aligned} \]

Potom \[ \begin{aligned} 2 \cdot F_{p1} \cdot f \cdot \cos(\alpha) &\ge m \cdot g + 2 \cdot F_{p1} \cdot \sin(\alpha)\\ f &\geq \frac{m \cdot g + 2 \cdot F_{p1} \cdot \sin(\alpha)}{2 \cdot F_{p1} \cdot \cos(\alpha)}\\ f &\geq \frac{m \cdot g}{2 \cdot F_{p1} \cdot \cos(\alpha)} + \tan(\alpha)\\ \end{aligned} \]