3. Kolotočová socha vzorové riešenie

Na začiatku, kým je kolotoč v pokoji, pôsobí na Tomáša len tiažová sila \(F_g = mg\) daná jeho hmotnosťou. Touto silou je ďalej napínané lano, na ktorom je sedačka, na ktorej Tomáš sedí. Zo zákona akcie a reakcie tomu zodpovedajúcou silou opačného smeru pôsobí na lano aj rameno kolotoča. Keďže tiažová sila pôsobí priamo nadol, aj lano so sedačkou visia priamo pod závesom lana.

Následne, keď sa kolotoč roztočí a odstredivá sila začne na Tomáša pôsobiť smerom von od osi otáčania, čím ho vychýli smerom von a o \(\Delta R\) zväčší polomer jeho obežnej dráhy. Zadanie nám tu dovoľuje hmotnosť lana (závesu) slobodne zanedbať, takže o lane môžeme naďalej predpokladať, že je rovné a napínané v smere výslednice tiažovej a odstredivej sily pôsobiacej na Tomáša. Odchýlku závesu od jeho pokojového stavu označme \(\varphi\).

Pozorné oko si tu môže všimnúť, že nám vznikol pravouhlý trojuholník, ktorého preponu tvorí vychýlené lano dlhé \(\SI{5}{\meter}\), odvesna protiľahlá k \(\varphi\) (rovnobežne zo zemou) je \(\Delta R\) a odvesna priľahlá k \(\varphi\) je dlhá \(\SI{5}{\meter} - \SI{1}{\meter} = \SI{4}{\meter}\) (dĺžka lana ktoré na jej mieste viselo, kým bol kolotoč v pokoji mínus \(\SI{1}{\meter}\) o ktorý sa Tomáš zdvihol od zeme po roztočení kolotoča)¹. Potom odchýlku \(\varphi\) si môžeme vyjadriť ako \(\varphi = \arccos(\frac{4}{5}) = \ang{36.87}\) a dĺžku odvesny \(\Delta R\) vypočítame z Pytagorovej vety ako \[ \begin{aligned} 5^2 &= 4^2 + {\Delta R}^2\\ 5^2 - 4^2 = 9 &= {\Delta R}^2\\ 3 &= \Delta R. \end{aligned} \]

Týmto sme získali nielen polomer Tomášovho obiehania \(R_2 = R + \Delta R = \SI{3}{\meter} + \SI{3}{\meter} = \SI{6}{\meter}\), ale aj pomer medzi veľkosťami tiažovej a odstredivej sily pôsobiacej na Tomáša. To preto, že tiažová, resp. odstredivá sila, majú rovnaký smer ako k \(\varphi\) priľahlá, resp. protiľahlá odvesna, a preto, že koniec lana je napínaný výslednicou tiažovej a odstredivej sily, čiže lano (prepona v pravouhlom trojuholníku) má s touto výslednicou rovnaký smer. Získame teda, že \[ \SI{4}{\meter}:\SI{3}{\meter} = F_g : F_{od} \] čiže \[ F_g = \frac{4}{3}F_{\mathrm{od}}. \]

Tu \(F_g = mg\) a \(F_{od} = m\omega^2 R_2\), takže \[ \begin{aligned} 3mg &= 4m\omega^2 R_2 \\ \omega &= \sqrt{\frac{3g}{4R_2}}. \end{aligned} \]

Keďže \(\omega\) je uhlová rýchlosť, v ktorej \(\SI{2\pi}{\per\second}\) by znamenalo jednu otočku za \(\SI{1}{\second}\), výslednú dobu obehu \(T\) môžeme vypočítať ako \[ T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{\sqrt{\frac{3g}{4R_2}}} = \frac{2\pi\sqrt{4\cdot\SI{6}{\meter}}}{\sqrt{3\cdot\SI{9.81}{\meter\per\second\squared}}} = \SI{5.67}{\second} \]