Zadanie

Legolas sa učil na skúšku z relativistického elektromagnetizmu. Táto pôvabne znejúca oblasť fyziky mu vnukla takúto myšlienku.

Majme dva elektróny vo vzdialenosti \(d = \SI{1}{\meter}\). Akú veľkú rýchlosť kolmo na ich spojnicu im musíme udeliť (obom rovnakú, vrátane smeru), aby výsledná sila, ktorou na seba budú pôsobiť, bola nulová?

Výsledok Vás možno prekvapí. Pokúste sa výsledok interpretovať z relativistického hľadiska.

Výpočet rýchlosti (aj s odôvodnením) budeme hodnotiť nanajvýš šiestimi bodmi. Relativistické zdôvodnenie budeme hodnotiť najviac tromi bodmi.

Elektromagnetická časť riešenia

Označme si elementárny náboj ako \(q\). Potom elektróny vzdialené od seba \(d\) na seba pôsobia elektrickou silou (elektrickou zložkou Lorentzovej sily) veľkosti \[ F_e = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q^2}{d^2}, \] pričom táto sila je odpudivá.

Elektrón letiaci rýchlosťou \(v\) vytvára vo vzdialenosti \(d\) kolmo na svoj pohyb podľa Biot-Savart-Laplaceovho zákona pre bodový náboj magnetické pole veľkosti \[ B = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{qv}{d^2}, \] pričom toto pole bude kolmé na smer pohybu druhého elektrónu, takže magnetická sila (magnetická zložka Lorentzovej sily) pôsobiaca medzi elektrónmi bude mať veľkosť \[ F_m = qvB = \frac{\mu_0}{4\pi}\frac{q^2v^2}{d^2}. \]

Táto sila je zase príťažlivá (stačí sa trocha pohrať s vektorovými súčinmi vo vzťahu pre magnetickú zložku Lorentzovej sily, alebo si spomenúť, že vodiče so súhlasným smerom prúdu sa priťahujú).

Výsledná sila teda bude nulová vtedy, keď sa budú veľkosti elektrickej a magnetickej zložky rovnať, čiže dostávame rovnicu, ktorú už stačí len vyriešiť: \[ \begin{aligned} F_e &= F_m, \\ \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q^2}{d^2} &= \frac{\mu_0}{4\pi}\frac{q^2v^2}{d^2}, \\ v^2 &= \frac{1}{\epsilon_0\mu_0} = c^2, \\ v &= c, \\ \end{aligned} \] kde \(c\) je rýchlosť svetla. To je možno prekvapivý, relativistický výsledok.

Relativistická časť riešenia

Prvou rozumnou úvahou je následne úlohu znova vyriešiť, tentokrát však použijúc relativistické vzťahy pre magnetické a elektrické pole pre bodový náboj pohybujúci sa rýchlosťou \(v\) vo vzdialenosti \(d\) od miesta, v ktorom pole hľadáme. V našom prípade si môžeme dovoliť niekoľko zjednodušení, nakoľko spojnica elektrónu a miesta, v ktorom polia hľadáme, je vždy kolmá na smer rýchlosti (elektróny sa hýbu spolu).

Relativistické vzťahy sa teda zjednodušia na (vraviac čisto o veľkostiach): \[ \begin{aligned} E &= \gamma\frac{q}{4\pi\epsilon_0}\frac{1}{d^2}, \\ B = \frac{1}{c^2}vE &= \gamma\frac{v}{c^2}\frac{q}{4\pi\epsilon_0}\frac{1}{d^2}, \\ \end{aligned} \] kde \(\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\) je Lorentzov faktor.

Podmienka nulovej sily zostáva rovnaká, môžeme riešiť. \[ \begin{aligned} qE = F_e &= F_m = qvB, \\ \gamma\frac{q^2}{4\pi\epsilon_0}\frac{1}{d^2} &= \gamma\frac{v^2}{c^2}\frac{q^2}{4\pi\epsilon_0}\frac{1}{d^2}, \\ v^2 &= c^2, \\ v &= c. \\ \end{aligned} \]

Vidíme, že dostávame rovnaký výsledok. Toto overenie je dobré urobiť, avšak v ďalších úvahách sa zaobídeme aj bez neho.

Keď sa presunieme do vzťažnej sústavy spojenej s elektrónmi, udejú sa dve veci. Po prvé, v tejto sústave nebude žiadne magnetické pole (lebo v nej skrátka elektróny stoja), a teda sa elektróny budú odpudzovať.

Po druhé, zadanie sa mení na inú otázku – ako rýchlo má utekať pozorovateľ preč od elektrónov, aby sa mu zdalo, že sa elektróny neodpudzujú? Je však známe, že sily spôsobujú zrýchlenie. Takže elektróny určite budú zrýchľovať smerom od seba a hľadaná rýchlosť pozorovateľa je teda taká, že neuvidí elektróny zrýchľovať. No a to nastane presne vtedy, keď sa bude pozorovateľ vzďaľovať od elektrónov rýchlosťou svetla, lebo vtedy budú „zamrznuté“ v jednom časovom momente a teda ich zrýchľovať neuvidí.

Poznámky po opravení

Gravitačná sila, ktorou na seba elektróny pôsobia – aspoň taká tá klasická – je v tejto úlohe zanedbateľná. Nebolo cieľom úlohy uvažovať relativistickú gravitačnú silu – ak ste ju do svojich výpočtov zahrnuli, samozrejme na škodu to nebolo ale na plný počet bodov to nebolo vyžadované.

Viacerí ste v úlohe uvažovali akou rýchlosťou sa sprostredkováva elektromagnetická interakcia a teda ako rýchlo musia elektróny pred ňou utekať aby ich nedobehla, čo je tiež zaujímavá úvaha. Riešenie Jožka Csipesa dokonca predviedlo Lorentzove transformácie pre sústavu spojenú s elektrónmi a laboratórnu sústavu. Nakoľko je toto riešenie podľa môjho skromného názoru veľmi pekné, po dohode s riešiteľom si zaslúžilo svoje miesto aj vo vzorovom riešení: https://fks.page.link/36-2-1-6

Diskusia

Tu môžte voľne diskutovať o riešení, deliť sa o svoje kusy kódu a podobne.

Pre pridávanie komentárov sa musíš prihlásiť.