2. Výhodné vycizelovanie vzorové riešenie

Pozrime sa najprv na to, čo sa Lucka naučila pred svojím krokom do prázdna. Naučila sa loptičku vyhodiť tak, že loptička má vzhľadom na ňu vždy rovnakú počiatočnú rýchlosť. O tejto rýchlosti vieme, že ak Lucka stojí na zemi (a teda sa nehýbe), loptička vystúpi presne do výšky \(l\). Z toho vieme určiť počiatočnú rýchlosť loptičky hneď po tom, ako ju vypustí z ruky, pretože musí platiť \[ \vec{l} = \vec{v_0}t + \frac{\vec{g}t^2}{2}. \qquad(1)\]

Rýchlosť loptičky v čase \(t\) bude \(0\), takže \(\vec{v_0} + \vec{g}t = \vec{0}\) čiže \(t = \frac{v_0}{g}\). Po dosadení do (1) získame rýchlosť, ktorou Lucka hádže loptu, \[ \vec{v_0} = -\vec{g}\sqrt{\frac{2l}{g}}. \qquad(2)\]

V momente, keď Lucka vykročí v ústrety slobode a voľnému pádu, je vo výške \(H\) a ona aj loptička majú vertikálnu rýchlosť \(\vec{0}\). Následne však Lucka aj s loptičkou padne voľným pádom do výšky \(h\), čiže do hĺbky \(H-h\), čo sa dá vyjadriť rovnicou \(H-h = \frac{gt_1^2}{2}\), kde \(t_1\) je čas, za ktorý padne do hĺbky \(H-h\). Z toho vidíme, že bude padať čas \[ t_1 = \sqrt{\frac{2(H-h)}{g}} \] a jej rýchlosť v hĺbke \(H-h\) bude \[ \vec{v_1} = \vec{g}\sqrt{\frac{2(H-h)}{g}}. \]

V tomto momente sa začínajú diať zaujímavé veci. Zadanie nám vraví, že Lucka sa naučila vyhadzovať loptičku rýchlosťou \(\vec{v_0}\) vzhľadom na seba, nech sa s ňou už deje čokoľvek. To znamená, že ak \(\vec{v_L}\) a \(\vec{v_l}\) sú rýchlosti Lucky a loptičky po vyhodení loptičky, musí pre ne platiť \[ \vec{v_l} = \vec{v_L} + \vec{v_0}. \qquad(3)\]

Zároveň si však môžeme všimnúť, že na sústavu Lucka-loptička pôsobí jediná vonkajšia sila a to tiažová. Prvá impulzová veta nám hovorí, že časová zmena hybnosti je úmerná výslednici vonkajších síl pôsobiacich na sústavu. Sila, ktorou Lucka vyhodí loptičku, pôsobí pravdaže na loptičku a loptička pôsobí rovnako veľkou silou naspäť na Lucku, čo znamená, že ide o vnútorné sily vrámci sústavy a tieto nemôžu zmeniť celkovú hybnosť sústavy. Nech Lucka vyhodí loptičku tak, že sa prestanú dotýkať, keď sú obe ich ťažiská presne vo výške \(h\). Potom musí platiť \[ \left(M+m\right)\vec{v_1} = M\vec{v_L} + m\vec{v_l}, \qquad(4)\] kde \(\vec{v_1}\) je zároveň rýchlosť spoločného ťažiska Lucky a loptičky v momente, keď sa prestanú dotýkať a \(\vec{v_L}\), \(\vec{v_l}\) sú samostatné rýchlosti Lucky a loptičky v tom istom momente. Do (4) teraz dosadíme (3), čím získame \[ \left(M+m\right)\vec{v_1} = M\vec{v_L} + m(\vec{v_L} + \vec{v_0}), \] z čoho dostaneme rýchlosti Lucky a loptičky \[ \begin{aligned} \vec{v_L} &= \vec{v_1} - \vec{v_0}\frac{m}{M+m}, \\ \vec{v_l} &= \vec{v_1} + \vec{v_0}\frac{M}{M+m}. \\ \end{aligned} \]

Rovnica pre zvyšok pohybu loptičky je \[ \begin{aligned} \vec{h} &= \vec{v_l}t_2 + \frac{\vec{g}t_2^2}{2}, \\ \vec{h} &= (\vec{v_1} + \vec{v_0}\frac{M}{M+m})t_2 + \frac{\vec{g}t_2^2}{2}. \\ \end{aligned} \]

Tu \(\vec{v_1}\), \(\vec{g}\) aj \(\vec{v_0}\) majú smer dole, takže môžeme vektory nahradiť skalármi s rovnakými znamienkami: \[ h = \left(v_1 + v_0\frac{M}{M+m}\right)t_2 + \frac{gt_2^2}{2}, \] z čoho riešením kvadratickej rovnice pre \(t_2\) získame \[ t_2 = -\sqrt{\frac{2}{g}}\left(\sqrt{H-h} - \sqrt{l}\frac{M}{M+m}\right) \pm \sqrt{\frac{2}{g}\left(\sqrt{H-h} - \sqrt{l}\frac{M}{M + m}\right)^2 + \frac{2h}{g}}. \] Tu je ale správnym riešením len \[ t_2 = -\sqrt{\frac{2}{g}}\left(\sqrt{H-h} - \sqrt{l}\frac{M}{M+m}\right) + \sqrt{\frac{2}{g}\left(\sqrt{H-h} - \sqrt{l}\frac{M}{M+m}\right)^2 + \frac{2h}{g}}, \] pretože len to je kladné.

Pre celkový čas ešte treba spočítať \(t_1\) a \(t_2\), čím získame \[ \begin{aligned} t &= \sqrt{\frac{2(H-h)}{g}} - \sqrt{\frac{2}{g}}\left(\sqrt{H-h} - \sqrt{l}\frac{M}{M+m}\right) + \sqrt{\frac{2}{g}\left(\sqrt{H-h} - \sqrt{l}\frac{M}{M+m}\right)^2 + \frac{2h}{g}} \\ &= \sqrt{\frac{2}{g}}\left(\frac{\sqrt{l} M}{M+m} + \sqrt{\left(\sqrt{H-h} - \sqrt{l}\frac{M}{M+m}\right)^2 + h}\right). \end{aligned} \]