Zadanie

Lucka obľubuje všakovaké exotické čaje, i rozhodla sa, že si jeden z nich uvarí. Avšak jediná nádoba, ktorú našla, bol odmerný valec vysoký \(\SI{1}{\metre}\) s plochou podstavy \(\SI{1}{\deci\metre\squared}\). Ani to ju však neodradilo. Naplnila odmerný valec vodou a nechala ju zovrieť. Následne nasypala zelený čaj a čili a čaj bol hotový. Jeho hladina siahala do výšky \(\SI{0,96}{\metre}\).

Lucka si zobrala pohár s výškou \(\SI{10}{\centi\metre}\) a plochou podstavy \(\SI{0,5}{\deci\metre\squared}\) a chcela si doň čaj nabrať. Zamyslená nad jedným príkladom si ani nevšimla, žo ho do čaju ponára hore dnom. Keď už ale mala pohár v čaji, tak sa s ním trochu pozabávala. Zobrala nekonečne tenkú tyčinku a pomaly ňou zatlačila pohár až na dno valca. V akej hĺbke od okraja odmerného valca sa ustálila hladina čaja, keď pohár dosadol na dno?

Presne popíšte, čo sa s hladinou čaja vo valci v jednotlivých fázach ponárania pohára dialo. Započítajte všetky efekty. Ak sú niektoré zanedbateľne malé, nestačí to len uviesť, ale treba to ukázať aj výpočtom.

Predpokladajte, že tyčinka aj materiál samotného pohára majú nekonečne malý objem. Hoci čaj s čili je hustý, predpokladajte, že jeho hustota je rovná hustote vody.

Čo sa vlastne deje, keď Lucka ponára pohár do čaju? Nuž, vzduch vo vnútri pohára sa stláča, a to izotermicky (keďže ho tam ponára pomaly). Nás zaujíma, ako bude toto stláčanie prebiehať a ako ovplyvní výšku hladiny čaju po dotlačení pohára na dno.

Dej ponárania si vieme rozdeliť na dve časti. V prvej časti ešte pohár nie je celý ponorený a nejaká jeho časť vytŕča z hladiny. V druhej časti je pohár ponorený celý a už iba klesá na dno. Môžete sa spýtať: prečo nás zaujíma prvá časť deja? Nestačilo by povedať, že objem vzduchu v pohári jednoducho umiestnime na dno pohára a zistíme, ako veľmi sa stlačí? Nestačilo. Všimnite si totiž, že v prvej časti deja hladina v odmernom valci stúpa (keďže na to, aby sa objem ponorenej časti vzduchu v pohári nezväčšoval, by musela byť hustota čaju nekonečná), v druhej časti deja sa však objem ponorenej časti vzduchu (ktorý je teraz ponorený celý) zmenšuje. Teda hladina v odmernom valci dosiahne maximálnu výšku v okamihu, keď bude pohár akurát celý ponorený. A pokiaľ by sa stalo, že sa v tom momente nejaká časť čaju preliala von z odmerného valca, treba to zarátať. Najprv teda vyrátame, o koľko stúpne hladina, keď je pohár tesne pod hladinou.

Než sa pustíme do práce s číslenými hodnotami, použijeme označenie. Nazvime si výšku pohára \(h\) a výšku odmerného valca \(H\). Označme si \(L\) výšku hladiny čaju v odmernom valci. Označme si \(l\) výšku vzdušného stĺpca v pohári. Taktiež si označme \(P\) tlak vzduchu v pohári a \(V\) objem vzduchu v pohári. Hustotu čaju (zhodnú s hustotou vody) označme \(\rho\). Ďalej označme \(S_p\) obsah podstavy pohára a \(S_v\) obsah podstavy odmerného valca. Zaveďme objem pohára \(V_0=S_p h\), ktorý je zhodný s počiatočným objemom vzduchu, a tlak \(P_0=P_A\) ako počiatočnú hodnotu tlaku vzduchu v pohári rovnú hodnote atmosférického tlaku.

Ponorme pohár do čaju. V rovnovážnom stave platí \(P_A+\rho lg=P\) a zo stavovej rovnice pre izotermický dej máme \(PV=P_0V_0\). Po dosadení a úprave obdržíme \[V=\frac{P_AV_0}{P_A+\rho lg}\] Platí \(V=S_p l\). Po dosadení tohto a ešte hodnoty \(V_0\) máme rovnicu \[\rho gl^2+P_Al-P_Ah=0\] Rovnicu vyriešime vzhľadom na \(l\). Z dvoch koreňov je kladný len jeden: \[l=\frac{-P_A+\sqrt{P_A^2+4P_Ah\rho g}}{2\rho g}\] To je výška vzdušného stĺpca v pohári. Zmena výšky hladiny v odmernom valci bude teda \(\Delta L=\frac{V}{S_v}=\frac{S_p}{S_v}l\). Po dosadení zadaných hodnôt vyčíslime \(\Delta L=\SI{4.9525}{\centi\meter}\) a rovno vidíme, že čaj sa skutočne z odmerného valca vyleje, keďže rozdiel medzi \(L\) a \(H\) je veľký len štyri centimetre. Povedzme teda, že odmerný valec je naplnený až po okraj (teda nastavíme \(\Delta L=\SI{4}{\centi\meter}\)) a pozrieme sa na druhú časť deja: zatláčanie pohára nadol.

Prv, než sa vrhneme na rátanie druhej časti deja, musíme si predefinovať zopár veličín. Keďže sa nám čaj prelial, skomplikoval sa vzťah medzi \(\Delta L\) a \(l\). Preto si nastavme \(L=H=\SI{100}{\centi\meter}\) a povedzme, že \(\Delta L\) je na začiatku druhej časti deja nulové. Taktiež si zapamätáme hodnotu výšky vzdušného stĺpca v pohári hneď na začiatku druhej časti deja, ktorú sme vypočítali pred chvíľou: \(l_0=\SI{9.9050} {\centi\meter}\). Môžme tak napísať nový vzťah: \(\Delta L=\frac{S_p}{S_v}\left (l-l_0\right)\), z čoho vidíme, že \(\Delta L\) bude záporné (hladina klesne).

Keď pohár klesne až na dno odmerného valca, bude vzdialenosť vrchu vzdušného stĺpca v ňom od hladiny čaju vo valci presne \(H+\Delta L-h\). Výška čajového stĺpca, ktorý tlačí na vzdušný stĺpec, je \(H+\Delta L-h+l\). Napíšeme si teda rovnicu tlakovej rovnováhy: \(P_A+\rho g(H+\Delta L-h+l)=P\). Zo stavovej rovnice vieme, že \(Pl=P_Ah\). Keď to všetko dosadíme spolu s výrazom pre \(\Delta L\), dostaneme rovnicu \[l^2\rho g\left(1+\frac{S_p}{S_v}\right)+l\left(P_A+\rho g\left(H-h- \frac{S_p}{S_v}l_0\right)\right)-P_Ah=0\] Riešenie tejto rovnice vzhľadom na \(l\) má jeden kladný koreň, ktorý je \[l=\frac{-\left(P_A+\rho g\left(H-h-\frac{S_p}{S_v}l_0\right)\right)+ \sqrt{\left(P_A+\rho g\left(H-h-\frac{S_p}{S_v}l_0\right)\right)^2+ 4\rho g\left(1+\frac{S_p}{S_v}\right)P_Ah}}{2\rho g\left(1+\frac{S_p}{S_v} \right)}\] Po vyčíslení obdržíme hodnotu \(l=\SI{9.1275}{\centi\meter}\). Z toho zistíme, že \(\Delta L=\SI{-0.3888}{\centi\meter}\), teda hladina čaju bude vo výške \(\SI{99.6112}{\centi\meter}\).

Diskusia

Tu môžte voľne diskutovať o riešení, deliť sa o svoje kusy kódu a podobne.

Pre pridávanie komentárov sa musíš prihlásiť.