3. Rýchlo a zbesilo vzorové riešenie

Riešenie problému rozdelíme na dve časti:

1. Keď voda vyjde z potrubia na vzduch:

Na čiastočky vody sa môžeme pozrieť ako na teleso, ktoré bude konať zvislý vrch nahor.

2. Keď je voda v potrubí:

Bude sa jednať o Bernouliho rovnicu.

1. Voda po výstupe z potrubia

Jedná sa o zvislý vrh nahor a môžeme si ľahko odvodiť, že najvyšší bod, do ktorého voda môže vyjsť je

\[H_{max}=\frac{v_0^2}{2g}\qquad(1)\]

kde \(v_0\) je rýchlosť vody tesne po tom, čo opustí potrubie a \(g\) je gravitačné zrýchlenie. Asi najrýchlejší spôsob je odvodenie pomocou zákona zachovania energie, ktorý hovorí, že súčet kinetickej a potenciálnej energie je konštantný. Ak si teda vyberieme nulovú výšku vo výške zemského povrchu, tak v tomto bode má čiastočka kvapky potenciálnu energiu nulovú a naopak v najvyššom bode má kvapka nulovú kinetickú energiu. Keďže tieto dve energie sa musia rovnať dostávame rovnicu pre \(H_{max}\). Iný spôsob odvodenia. Čiže nám treba len zistiť rýchlosť \(v_0\), ktorou voda opúšťa potrubie.

2. Voda v potrubí

V potrubí bude platiť Bernoulliho rovnica (v podstate zákon zachovania energie):

\[ p_{1} + \frac{1}{2}\rho v_{1}^{2}+ \rho g h_{1} = p_{2} + \frac{1}{2}\rho v_{2}^{2}+ \rho g h_{2} \qquad(2)\]

Hĺbku \(h_{1}\), v ktorej je prvá časť potrubia zvolíme ako referenčnú hĺbku, a teda \(h_{1}=0\). Tlak \(p_{1}\) máme zadaný. Tlak v oblasti 2, čiže v oblasti, kde voda opúšťa potrubie, bude približne rovný atmosférickému tlaku. Hĺbka, resp. výška \(h_{2}\) sa meria vzhľadom na hĺbku prvej časti potrubia (ktorú sme si zvolili \(h_{1}=0\)), a teda zo zadania \(h_{2}=\SI{2}{\meter}\). Jediné neznáme ostávajú rýchlosti. Avšak vieme, že z nestlačiteľnosti kvapalín vyplýva rovnica kontinuity

\[ S_{1}v_{1}=S_{2}v_{2} \]

Hoci obsahy priamo nepoznáme, vieme aký je ich pomer, \(S_1:S_2 = 3\), pretože veľkosť diery na povrchu (\(S_2\)) je tretinová oproti prierezu prívodného potrubia (\(S_1\)). Čiže pre rýchlosť \(v_{2}\) platí

\[ v_{1}= \frac{S_{2}}{S_{1}}v_{2}\]

Tento výraz dosadíme do Bernoulliho rovnice (Rovnica 2) aj spolu s \(h_{1}=0\) a zistíme, že máme rovnicu s jednou neznámou \(v_{2}\), pre ktorú dostávame výraz:

\[v_{2}^{2} =\left( \left (p_{1}-p_{2} \right) -\rho g h_{2} \right) \frac{2}{\rho} \frac{1}{1-\left ( \frac{S_{2}}{S_{1}} \right )^{2}} \qquad(3)\]

Tiež si všimneme, že rýchlosť \(v_{2}\) je rýchlosť \(v_{0}\), ktorou voda opúšťa potrubie pri povrchu. Čiže už len dosadíme Rovnica 3 do Rovnica 1 a dostaneme výsledok. Po vyčíslení je \(v_{2}^{2}=\SI[per-mode= reciprocal-positive-first]{540}{\meter\squared\per\second\squared}\) a po dosadení do Rovnica 1 vyjde \(H_{max}=\SI{27}{\meter}\), kde sme použili \(g=\SI{10}{\meter\per\second\squared}\).

Iný pohľad na problém

V predchádzajúcom riešení sme brali tlak \(\SI{360}{\kilo\pascal}\) ako tlak prúdiacej kvapaliny po ustálení. Avšak iný pohľad by bol, že \(\SI{360}{\kilo\pascal}\) je „pokojový tlak“. Tlak, ktorý je v potrubí, keď voda netečie.

Pôvodných \(\SI{360}{\kilo\pascal}\) pozostávalo z tlaku vo vode a \(\rho g h_{1}\). Keď sa hydrant odtrhne (ako keby otvoríme kohútik hydrantu), voda v potrubí sa začne hýbať v dôsledku čoho sa zníži tlak. Avšak pôvodná energia (áno, \(\SI{360}{\kilo\pascal}\) predstavuje energiu) sa musí zachovať. Preto \[\SI{360}{\kilo\pascal}=p_{1} + \frac{1}{2}\rho v_{1}^{2}+ \rho g h_{1},\] kde \(p_{1}\) predstavuje nový tlak, keď sa už kvapalina hýbe s rýchlosťou \(v_{1}\).

Použitím Bernoulliho rovnice (Rovnica 2) dostávame \[\SI{360}{\kilo\pascal} =p_{1} + \frac{1}{2}\rho v_{1}^{2}+ \rho g h_{1}= p_{2}+ \frac{1}{2}\rho v_{2}^{2}+ \rho g h_{2},\] čiže \[ \SI{360}{\kilo\pascal}= p_{2}+ \frac{1}{2}\rho v_{2}^{2}+ \rho g h_{2},\] kde \(p_{2}\) je atmosférický tlak, \(h_{2}=\SI{2}{\meter}\) a jedinou neznámou ostáva rýchlosť \(v_{2}\), ktorú potom vložíme do Rovnica 1 a dostaneme hľadaný výsledok.

Koment 1: Ak by si chcel(a) lepšie porozumieť Bernouliho rovnici a čo sa vlastne deje, odporúčam tento odkaz na sekciu v Khan Academy. Je tam veľmi podobný príklad. Koment 2: Uznávali sme obe riešenia.