2. Ako hlboko sme klesli vzorové riešenie

Zadanie

Lucka sa hrala vo vákuu. Zobrala nádobu tvaru valca s obsahom podstavy \(S\) a naliala do nej vodu do výšky \(h\). Potom do nej vložila druhú nádobu tvaru valca s obsahom podstavy \(kS,\, k \in \left(0,\,1\right)\) a s výškou \(h\), ktorá bola pôvodne prázdna. Hneď sa ponorila do hĺbky \(h'\). Následne aj do nej naliala toľko vody, koľko sa len dalo bez toho, aby sa ponorila. V akej vzdialenosti bola vtedy hladina vody v menšej nádobe odo dna väčšej?

Ako pri väčšine príkladov z mechaniky, zistime si, aké sily nám pôsobia na ktoré telesá. Pozrime sa najprv na prázdnu nádobu vo vode. (Pre zjednodušenie budem menšiu nádobu nazývať iba nádoba). Ako prvá každému hneď napadne gravitačná sila. Keďže nádoba sa po určitom čase po ponorení ustáli, musí na ňu pôsobiť ešte ďalšia sila, ktorá je rovnako veľká, len opačne orientovaná, nazývaná ako vztlaková sila. Tí pozornejší si všimnú, že by sme vedeli použiť Archimedov zákon. Ten nám vraví, že ak ponoríme teleso do kvapaliny, tak ho kvapalina nadľahčuje a pôsobí naň vztlakovou silou, ktorá sa rovná tiaži kvapaliny s rovnakým objemom ako je objem ponorenej časti telesa. Čiže v našom prípade je ponorenou časťou telesa nádoba odo dna až do výšky \(h'\).

Môžeme tak zistiť hmotnosť nádoby:

\[\begin{aligned} F_g &= F_{vz}\\ m_n g &= \rho_v V_v g\\ m_n g &= \rho_v h' k S g \end{aligned}\] \[m_n = \rho_vh'kS \qquad(1)\]

Teraz zistime výšku \(v\) hladiny vody v nádobe po naliatí maximálneho objemu vody tak, aby sa neponorila. Opäť použijeme Archimedov zákon:

\[\begin{aligned} F_g &= F_{vz}\\ (m_n + m_v) g &= \rho_v V_v g\\ m_n + m_v &= \rho_v hkS\\ m_v &= \rho_v hkS - m_n \end{aligned}\]

Po dosadení \(m_v = \rho_v kSv\) a \(m_n\) z rovnice 1, dostávame

\[ \rho_vkSv = \rho_vkS (h - h')\]

a teda \(v = h - h'.\)

Vyšiel nám podozrivo pekný výsledok a patrilo by sa vedieť prečo. Nečakane, pri tejto úvahe opäť použijeme Archimedov zákon. Na to však potrebujeme vedieť objem vytlačenej kvapaliny, čo je v tomto prípade \(V_v = kS(h - h')\). Dostávame tak rovnicu \(m_v = \rho_v kS (h - h')\) , pričom \(m_v = \rho_v kSv\), čiže \(v = h - h'\). Stačí si uvedomiť, že priliatie vody do malej nádoby nezmení rozdiel hladín, pretože zvýšenie hladiny vody v malej nádobe o \(x\) spôsobí zväčšenie tiažovej sily, ktoré musí byť vyrovnané podľa Archimedovho zákona zväčšením vztlakovej sily, ktoré zodpovedá ponoreniu malej nádoby voči hladine vo veľkej nádobe o \(x\). To však platí len za predpokladu, že obidve kvapaliny majú rovnakú hustotu.

Konečne sa dostávame k záveru. Výšku hladiny väčšej nádoby \(H\) vzhľadom na jej dno vypočítame pomocou súčtu objemu vody v nej a objemu vody vytlačeného nádobou.

\[\begin{aligned} V &= V_v + V_n\\ HS &= hS + hkS\\ H &= h + hk \end{aligned}\]

Nakoniec ešte od \(H\) odpočítame \(h-v = h'\) a vyjde nám náš hľadaný výsledok \(h + hk -h'\).