5. Hygiena nadovšetko! vzorové riešenie

Na úvod si povedzme, že aby celá úloha bola v súlade s tým, čo z reálneho života očakávame, tak musí platiť \(T_1>T_2>T_3\)¹ a označme \(\tau\) hľadaný čas, počas ktorého sa môže Marcel sprchovať. Zrekapitulujme si, čo sa v tejto úlohe deje.

Začiatok. Na začiatku máme v bojleri vodu s teplotou \(T_1\) a objemom \(V\) a máme neobmedzene veľa vody s teplotou \(T_3\).

Sprchovanie. Keď sa Marcel sprchuje, tak sa používa voda z bojlera, ktorá má v čase \(t\) teplotu \(T(t)\). Tá sa dopĺňa vodou s teplotou \(T_3\) a zároveň sa ohrieva s výkonom \(P\). Voda, ktorá odtečie z bojlera sa ďalej zmieša s vodou s tepolotou \(T_3\) tak, aby mala teplotu \(T_2\) a odtečie.

Koniec. Na konci sa už Marcel nevie sprchovať vodou s teplotou \(T_2\), takže v poslednom momente, kedy sa ešte mohol sprachovať musela byť v bojleri voda s teplotou \(T_2\).

Z tohto si môžeme všimnúť niečo, čo by nám vedelo uľahčiť riešenie. Stavy na začiatku a na konci sú veľmi pekne a jednoducho popísateľné. Na druhej strane sa počas sprchovania dejú dosť šialené veci². V závislosti od toho, či sa rozhodneme pustiť sa do toho, čo za fyzika sa počas sprchovania deje, sa dá prísť k jednoduchému, ale aj ku komplikovanému riešeniu.

Riešenie pomocou porovnania stavu na začiatku a na konci

Ako sme si povedali, počas sprchovania sa deje divokejšia fyzika. Preto by sme sa jej popisovaniu najradšej vyhli. Ako? Stačí si všimnúť, že nejaká fyzikálna veličina sa aj počas sprchovania správa pomerne slušne. Tou veličinou, je zmena vnútornej energie.

Máme totiž mrť vody s teplotou \(T_3\), a tak môžeme počítať, o koľko väčšiu vnútornú energiu má všetka voda oproti tomu, keby mala všetka voda teplotu \(T_3\). Popis toho, čo sa deje počas sprchovania bude mimoriadne jednoduchý. Bojler koná prácu a tým zvyšuje vnútornú energiu o \(W(t)=Pt\).

V jednotlivých fázach sprchovania vieme rozdiel vnútornej energie poľahky vypočítať.

Začiatok. Máme iba vodu s objemom \(V\) a teplotou \(T_1\). Tá má oproti vode s teplotou \(T_3\) vnútornú energiu vyššiu o

\[\Delta U_z = V \rho c (T_1-T_3)\]

Sprchovanie. Ako sme si už povedali, počas sprchovania koná bojler prácu \(W(t)=Pt\). Počas celého sprchovania trvajúceho čas \(\tau\) tak vykoná prácu

\[W(\tau)=P \tau\]

Koniec. Na konci máme v bojleri vodu s objemom \(V\) a teplotou \(T_2\). Navyše nám za čas \(\tau\) odtiekla voda s objemom \(Q \tau\) a s teplotou \(T_2\). Všetka voda má tak na konci vnútornú energiu oproti vode s teplotou \(T_3\) vyššiu o

\[\Delta U_k = V \rho c (T_2-T_3) + Q \tau \rho c (T_2-T_3)\]

Bojler konal prácu, ktorá sa využila na zvýšenie vnútornej energie vody, takže máme ešte vzťah:

\[\Delta U_z + W(\tau) = \Delta U_k\]

Stačí nám už len dosadiť hodnoty a vyjadriť \(\tau\):

\[V \rho c (T_1-T_3) + P \tau = V \rho c (T_2-T_3) + Q \tau \rho c (T_2-T_3)\]

\[\tau (Q \rho c (T_2-T_3) - P)=V \rho c (T_1-T_2)\]

\[\tau = \frac{V(T_1-T_2)}{Q(T_2-T_3) - \frac{P}{\rho c}}\]

Tým sa nám podarilo nájsť čas sprchovania a sme hotoví. Či? Ešte by sa patrilo zamyslieť sa, či to, čo nám vyšlo, dáva fyzikálne zmysel. Mohlo by sa totiž pokaziť to, že menovateľ tohto zlomku by bol nulový alebo dokonca záporný. V tom prípade máme nerovnosť

\[P \geq Q \rho c (T_2-T_3)\]

Ak túto nerovnosť ešte pranásobíme časom \(t\) (nemusí to byť ten istý ako \(\tau\)), tak dostávame nerovnosť

\[Pt \geq Qt \rho c (T_2-T_3)\]

Ľavá strana tejto nerovnosti zodpovedá tomu, koľko vnútornej energie dodá bojler vode za čas \(t\). Pravá strana zas hovorí, o koľko väčšiu vnútornú energiu má voda, ktorá vytiekla za čas \(t\), oproti vode s teplotou \(T_3\). Každopádne to ale reprezentuje to, koľko vnútornej energie stratila voda v bojleri. Ak je teda táto nerovnosť splnená, tak bojler stíha zohrievať vodu dostatočne rýchlo, aby mala stále rovnakú teplotu alebo sa voda ešte viac zohrievala³, a teda sa Marcel bude môcť sprchovať ľubovoľne dlho.

To by nás ale nemalo prekvapiť ani z výrazu pre \(\tau\). Pre hodnoty menovateľa blízke nule totiž dostávame ľubovoľne veľké hodnoty \(\tau\). Pre záporné hodnoty by bojler nemusel ísť na plný výkon a aj nižší výkon (taký, aby bol menovateľ nulový) zabezpečí, že sa Marcel bude môcť sprchovať ľubovoľne dlho.⁴

Takže odpoveď na úlohu znie, že pokiaľ platí \(P \geq Q \rho c (T_2-T_3)\), tak sa Marcel môže sprchovať ľubovoľne dlho. V opačnom prípade sa môže sprchovať po dobu⁵:

\[\tau = \frac{V(T_1-T_2)}{Q(T_2-T_3) - \frac{P}{\rho c}}\]

Riešenie pomocou popisovania zmien teplôt pri sprchovaní

Prejdime k náročnejšiemu riešeniu, v ktorom pomocou rovníc popíšeme, čo sa deje počas sprchovania. Najprv si označme zopár veličín. Začnime tým, že si označme \(T_1(t)\) teplotu vody v bojleri v čase \(t\). Ďalej označme \(Q_1(t)\) objemový prietok vody, ktorá vyteká z bojlera, a \(Q_3(t)\) objemový prietok vody, s ktorou sa táto voda zmiešava. Na to, aby bol výsledný prietok \(Q\), musí platiť tento vzťah:

\[Q=Q_1(t)+Q_3(t)\]

Na to, aby bola výsledná teplota vody \(T_2\), musí byť zas splený tento vzťah:

\[QT_2 = Q_1(t)T_1(t) + Q_3(t)T_3\]

V týchto dvoch rovniciach máme dve neznáme, \(Q_1(t)\) a \(Q_3(t)\), ktoré vieme jednoducho vyjadriť ako:

\[Q_1(t)=Q\frac{T_2-T_3}{T_1(t)-T_3}\]

\[Q_3(t)=Q\frac{T_1(t)-T_2}{T_1(t)-T_3}\]

Tieto vyjadrenia sa nateraz uložme do zásoby.

Doteraz sme sa pozerali na celý systém, zamerajme sa teraz na to, čo sa stane v bojleri. Zišlo by sa nám vedieť, ako sa mení teplota vody v ňom v závislosti od času. Uvažujme teda nejaký malý časový úsek \(\Delta t\). V čase \(t\) sa v bojleri nachádza voda s teplotou \(T_1(t)\) a vypúšťa sa objemovým prietokom \(Q_1(t)\). Chceli by sme vedieť teplotu vody v čase \(t + \Delta t\). Za časový úsek \(\Delta t\) odtečie voda s teplotou \(T_1(t)\) a s objemom \(Q_1(t)\Delta t\). Naopak pritečie voda s rovnakým objemom \(Q_1(t)\Delta t\), ale s teplotou \(T_3\). Takže voda v bojleri príde o energiu \(Q_1(t)\Delta t \rho c (T_1(t)-T_3)\). Na druhej strane ju ale zohreje bojler, a tak získa energiu \(P \Delta t\). Pre rozdiel tepelných energií vody v bojleri v časoch \(t\) a \(t+\Delta t\) tak platí:

\[V\rho c T_1(t+\Delta t)-V\rho c T_1(t)=-Q_1(t)\Delta t \rho c (T_1(t)-T_3) + P \Delta t\]

Skôr ako s touto marhou niečo spravíme, vytiahnime ešte zo šuflíka vzťah pre \(Q_1(t)\) a upravme celú rovnosť na trochu krajší tvar:

\[V\rho c T_1(t+\Delta t)-V\rho c T_1(t)=-Q\Delta t \rho c (T_2-T_3) + P \Delta t\]

Chceli sme vedieť, ako sa za nejaký malý časový úsek mení teplota vody v bojleri. Presne to nám povie takýto vzťah, ktorý vieme z tejto rovnice vymlátiť:

\[\frac{T_1(t+\Delta t)-T_1(t)}{\Delta t}=\frac{\frac{P}{\rho c}-Q(T_2-T_3)}{V}\]

Tu sme dostali niečo priam úžasné. Zmena teploty v bojleri za nejaký malý časový úsek vôbec nezávisí od času, čiže je v čase konštantná. Takže teplota vody v bojleri musí klesať lineárne. To znamená, že takýto vzťah bude platiť aj pre ľubovoľne dlhý úsek. Napríklad aj ten od času \(t=0\) (začiatok) až po čas \(t=\tau\) (koniec). Vtedy navyše platí \(T_1(0)=T_1\) a \(T_1(\tau)=T_2\). Odvodený vzťah sa nám tak upraví do tvaru:

\[\frac{T_1(\tau)-T_1(0)}{\tau - 0}=\frac{T_2-T_1}{\tau}=\frac{\frac{P}{\rho c}-Q(T_2-T_3)}{V}\]

Odtiaľto už poľahky vyjadríme hľadané \(\tau\):

\[\tau = \frac{V(T_1-T_2)}{Q(T_2-T_3) - \frac{P}{\rho c}}\]

Na záver už len spravíme diskusiu o fyzikálnom význame tohto vyjadrenia podobne ako v prvom riešení a sme hotoví.

Riešenie pomocou ťažkých kladív⁶

Osoby, ktoré sú už zmierené, že v pozícii fyzika budú často musieť narábať s integrálmi a deriváciami, si isto v predošlom riešení všimli, že keď pošleme \(\Delta t\) do nuly, tak výraz

\[\frac{T_1(t+\Delta t)-T_1(t)}{\Delta t}=:\frac{dT_1}{dt}\]

nie je ničím iným ako len deriváciou tepoloty vody v bojleri podľa času. Po prenásobení pôvodného vzťahu, ktorý sme dostali v druhom riešení \(dt\) tak môžeme smelo integrovať⁷:

\[dT_1=\frac{\frac{P}{\rho c}-Q(T_2-T_3)}{V} dt\]

\[\int_{T_1}^{T} dT_1 =\frac{\frac{P}{\rho c}-Q(T_2-T_3)}{V} \int_{0}^{t} dt\]

Keďže nás zaujímajú hodnoty v čase \(\tau\), kedy je teplota vody v bojleri \(T_2\), tak nás v skutočnosti zaujímajú tieto integrály:

\[\int_{T_1}^{T_2} dT_1 =\frac{\frac{P}{\rho c}-Q(T_2-T_3)}{V} \int_{0}^{\tau} dt\]

A po ich výpočte máme:

\[T_2-T_1=\frac{\frac{P}{\rho c}-Q(T_2-T_3)}{V} \tau\]

\[\tau = \frac{V(T_1-T_2)}{Q(T_2-T_3) - \frac{P}{\rho c}}\]

Tretíkrát sme dospeli k tomu istému výsledku, tak to asi nebude náhoda.

Odpoveď

Na záver ešte zopakujme, čo je teda riešením úlohy. Pokiaľ platí \(P \geq Q \rho c (T_2-T_3)\), tak sa Marcel môže sprchovať ľubovoľne dlho. V opačnom prípade sa môže sprchovať po dobu:

\[\tau = \frac{V(T_1-T_2)}{Q(T_2-T_3) - \frac{P}{\rho c}}\]

---

1. Je samozrejme odporúčané rozmyslieť si, čo by sa dialo v iných prípadoch.↩︎

2. Pochopiteľne, z fyzikálneho hľadiska.↩︎

3. Najneskôr tu by mala v čitateľovi začať blikať fyzikálna kontrolka. Z toho, čo sme odvodili totiž vyplýva, že by sme po istom časemohli v bojleri dostať vodu s ľubovoľne veľkou teplotou. Samozrejme tu ale tajne zanedbávame množstvo fyziky. Na jednej strane predpokladáme, že sa voda nevyparí. Na druhej strane predpokladáme, že bojler nemá tepelné straty.↩︎

4. Celé sa to dá ešte povedať z inej strany. Výraz na pravej strane rovnosti pre \(\tau\) totiž hovorí, koľko času uplynie, kým voda v bojleri dosiahne teplotu \(T_2\). Ak výjde nejaké kladné \(\tau\), tak to hovorí, že teplota \(T_2\) sa niekedy dosiahne. V tomto prípade tento časový úsek predstavuje to, ako dlho sa môže Marcel sprchovať. V prípade, že ale nevýjde žiadne kladné riešenie, tak voda v bojleri nikdy nedosiahne teplotu \(T_2\), a tak sa Marcel bude môcť sprchovať ľubovoľne dlho.↩︎

5. Z tohto vzťahu sa navyše dá veľmi krásne popísať aj to, čo sa deje pre prípady, keď neplatí \(T_1>T_2>T_3\).↩︎

6. Čítať len na vlastné riziko!↩︎

7. Veľmi vágne povedané je integrál súčtom cez maličké veci. Integrálom vieme teda nasčítať maličké \(dT_1\) a \(dt\). Keď je v nejakom čase \(t\) teplota \(T\), tak sa nám na v našom vzťahu nasčítajú na ľavej strane teploty tak, že stúpli z teploty \(T_1\) na teplotu \(T\), a na pravej strane časy tak, že stúpli z času \(0\) na čas \(t\). Na tomto je aj veľmi dobre vidno, prečo sa tu oplatí uprednostniť určitý integrál pred neurčitým↩︎