2. Počítanie peňazí vzorové riešenie

Uvažujme \(N+1\) mincí¹ postavených na seba. Očíslujme si ich zdola nahor a napíšme si pohybovú rovnicu pre každú z nich. Je to vskutku jednoduché. Stačí si uvedomiť, že dolná susediaca minca sa snaží mincu trecou silou urýchľovať a horná naopak brzdiť. Potom dostávame sadu rovníc: \[ \begin{aligned} ma_{1} & =F-\cancelto{0}{F_{t0}}-F_{t1}\textrm{;}\\ ma_{2} & =F_{t1}-F_{t2}\textrm{;}\\ ma_{3} & =F_{t2}-F_{t3}\textrm{;}\\ & \vdots\\ ma_{i} & =F_{t\left(i-1\right)}-F_{ti}\textrm{;}\\ & \vdots\\ ma_{N} & =F_{t\left(N-1\right)}-F_{tN}\textrm{;}\\ ma_{N+1} & =F_{tN}-\cancelto{0}{F_{t\left(N+1\right)}}\textrm{.} \end{aligned} \] \(F\) je sila, ktorou pôsobí tyčka na spodnú mincu a \(F_{t}\) označuje trecie sily. Sily \(F_{t0}\) a \(F_{t\left(N+1\right)}\) idú do 0, nakoľko je trenie o podložku podľa zadania zanedbateľné a rovnako tak je aj zanedbateľné trenie vrchnej mince o vzduch.

Teraz nám už stačí vyčísliť trecie sily. To môže byť dosť komplikované, nakoľko každá z nich môže nadobúdať hodnoty v intervale \(\left\langle 0\mathrm{;}fF_{N}\right\rangle\), kde \(F_{N}\) je normálová sila medzi mincami.

Začnime tým, že budeme predpokladať, že mince po sebe prešmykujú. V takom prípade má trecia sila veľkosť práve \(F_{ti}=fF_{Ni}\). Potom naša sústava rovníc vyzerá nasledovne: \[ \begin{aligned} ma_{1} & =F-Nmgf\textrm{;}\\ ma_{2} & =Nmgf-\left(N-1\right)mgf=mgf\textrm{;}\\ ma_{3} & =\left(N-1\right)mgf-\left(N-2\right)mgf=mgf\\ & \vdots\\ ma_{i} & =\left(N-i+2\right)mgf-\left(N-i+1\right)mgf=mgf\textrm{;}\\ & \vdots\\ ma_{N} & =2mgf-mgf=mgf\textrm{;}\\ ma_{N+1} & =mgf\textrm{.} \end{aligned} \]

Okamžite vidíme, že počnúc druhou mincou na každú pôsobí rovnako veľká výsledná sila, a teda vzhľadom na ich rovnakú hmotnosť sa všetky pohybujú s rovnakým zrýchlením. To je ale v rozpore s naším predpokladom, že mince po sebe prešmykujú. Ak sa všetky pohybujú s rovnakým zrýchlením a na začiatku mali rovnakú rýchlosť, tak sa predsa vzhľadom na seba nemôžu pohybovať, a teda k prešmykovanie nedochádza.

To nám celú situáciu výrazne zjednoduší. Ak sa všetky mince počnúc druhou hýbu spoločne, tak nás nemusia zaujímať sily medzi jednotlivými mincami, ale môžeme ich jednoducho nahradiť jediným telesom hmotnosti \(M=Nm\). V takom prípade riešime len problém dvoch telies položených na sebe, a teda môžeme písať stručnejšiu sadu rovníc: \[ \begin{aligned} ma & =F-Mgf\textrm{;}\\ MA & =Mgf\textrm{.} \end{aligned} \] \(a\) teraz označuje zrýchlenie spodnej mince a \(A\) zrýchlenie bloku zvyšných mincí, a teda zrýchlenie ktorejkoľvek inej mince. Samozrejme predpokladáme, že blok mincí po spodnej minci prešmykuje, pretože v opačnom prípade by sa nám spodnú mincu nepodarilo vyraziť.

Teraz si už len stačí uvedomiť, že v prípade úspešného vyrazenia mince musí platiť, že spodná minca sa bude pohybovať s väčším zrýchlením než blok zvyšných mincí, čiže \[ \underbrace{\frac{F-Mgf}{m}}_{a}\stackrel{!}{>}\underbrace{gf}_{A}\textrm{.} \] Odtiaľ dostávame podmienku \[ F>\left(m+M\right)gf=\left(N+1\right)mgf\textrm{.} \]

Poznamenajme však, že pri takejto nízkej sile sa nám síce teoreticky podarí spodnú mincu vyraziť, no bude to trvať dlho a celá veža mincí pri tom prekoná veľkú vzdialenosť, nakoľko jej zrýchlenie bude len nepatrne menšie od zrýchlenia spodnej mince. V praxi preto musíme požadovať silnejšiu podmienku \[ F\gg\left(m+M\right)gf=\left(N+1\right)mgf\textrm{.} \]