5. Prísavka vzorové riešenie

V prvom rade si predstavte takú tú klasickú prísavku na stenu, na ktorú si možno aj vy vešiate uteráky. Máte? Tak teraz sa spoločne zamyslime, ako taká prísavka vlastne funguje. Ak sa nám to podarí, máme spolovice vyhrané.

Ako sa taká prísavka používa? Vyhliadneme si hladkú plochu – napríklad obkladačku, nadýchame na prísavku, a potom ju celou silou pritlačíme k vyhliadnutému povrchu – až tak, že z dutiny prísavky vytlačíme (takmer) všetok vzduch a prísavka sa tak dotýka obkladačky (takmer) celým svojím povrchom.

Prečo to robíme? Pointa spočíva v tom, že keď prísavku dobre pritlačíme, vytlačíme z jej dutiny väčšinu vzduchu. Keď ju potom uvoľníme, v dutine zostane tlak \(p\ll p_{a}\). Na vonkajšej strane prísavky je však stále tlak \(p_{a}\), takže na prísavku pôsobí výsledná tlaková sila \[ F_{p}=\left(p_{a}-p\right)S\approx p_{a}S\textrm{,} \] ktorá ju pritláča ku stene.

Prísavka však nevyzerá, že by smerom k stene zrýchľovala. To preto, že aj stena pôsobí na prísavku rovnako veľkou silou opačného smeru. Poznamenajme, že toto silové pôsobenie nie je rovnomerné na celej ploche prísavky, ale spojite sa mení, pričom väčšia sila pôsobí na jej spodnú časť. Nás však presné rozloženie plošných síl nemusí zaujímať a nahradíme ich jedinou výslednou silou \(N\), ktorej pôsobisko je niekde pod stredom prísavky. Tento poznatok sa nám hodí neskôr.

A akáže to sila zabraňuje prísavke v spadnutí? Dobre hádate – je ňou trenie! Prísavka tlačí na stenu normálovou silou veľkosti \(F_{p}\), takže jej spadnutiu zabraňuje trecia sila, pre ktorú platí \[ F_{t}\leq fF_{p}\textrm{.} \] Aby nám prísavka nezrýchľovala ani vo zvislom smere, musí byť presne rovná sile, ktorá prísavku ťahá k Zemi, a síce tiaži uteráku alebo čohokoľvek, čo ste si na ňu zavesili,¹ teda \[ F_{t}=mg\textrm{.} \]

Teraz je to už jednoduchá úloha zo statiky. Aby bola prísavka v pokoji, musí byť výslednica síl pôsobiacich na prísavku nulová. V horizontálnom smere máme \[ F_{p}=N\implies N=p_{a}S\textrm{,} \] čo nám neprezrádza nič, čo by bolo pre nás zaujímavé. Z rovnováhy síl vo vertikálnom smere sa však dozvedáme, že trecia sila je rovná tiaži závažia, a keď uvážime, že trecia sila je zhora ohraničená, dostávame podmienku \[ mg\leq fF_{p}\implies m\leq\frac{fp_{a}S}{g}\textrm{.} \]

Tým sme vyriešili sily. Nezabúdajme však, že na to, aby bolo teleso v rovnováhe, musíme uspokojiť ešte momenty síl. Vyberme si bod, vzhľadom na ktorý budeme momenty počítať. Ten môže byť úplne ľubovoľný, no nezabúdajme, že ak si raz jeden zvolíme, už ho nemôžeme zmeniť.

Zvoľme si napríklad stred plochy, ktorou sa prísavka dotýka o stenu. V takom prípade je moment tlakovej sily, ktorá pritláča prísavku o stenu, ako aj moment trecej sily, nulový. Vďaka tejto šikovnej voľbe nám zostávajú poriešiť ešte momenty dvoch síl – tiaže závažia a normálovej sily od steny.

Vieme, že prísavka pretŕča od steny do vzdialenosti \(l\). Môžeme predpokladať, že zhruba v tejto vzdialenosti je zavesený uterák, či iné závažie, preto veľkosť momentu tiaže je \[ M_{G}=mgl\textrm{.} \]

Poďme teraz na moment normálovej sily od steny. Už skôr sme prediskutovali, že sila od steny nie je rovnomerne rozložená na celej ploche prísavky, ale jej výslednica je mierne posunutá nadol. Teraz už vidíme prečo. Ak by vychýlená nebola, jej moment by bol nulový a nič by nezabraňovalo tomu, aby závažie prísavkou otáčalo, ako sa mu zachce. Ak by bola vychýlená nahor, tak by jej moment mal rovnaký smer ako tiaž, a teda by k otáčaniu ešte prispievala. Jediným riešením teda naozaj je, že výslednica normálovej sily od steny je posunutá nadol.² Nech je teda posunutá od jej stredu nadol o \(\xi\). Potom veľkosť momentu normálovej sily od steny je \[ M_{N}=N\xi\textrm{.} \]

Z rovnováhy momentov síl dostávame \[ mgl=N\xi\textrm{.} \] Uvážme, že moment tiaže závažia je priamo úmerný hmotnosti závažia \(m\), a teda nie je de facto nijako obmedzený. Na druhej strane moment sily od steny je zhora ohraničený rozmermi prísavky. Normálová sila je totiž striktne rovná tlakovej sile, ktorou je prísavka pritláčaná, teda \(N=p_{a}S\), čo je nemenná hodnota, a jej rameno je zhora ohraničené polomerom prísavky \[ \xi\leq r\textrm{.} \] Keď si to dáme dokopy, dostaneme podmienku \[ mgl\leq p_{a}Sr\implies m\leq\frac{p_{a}Sr}{gl}\textrm{.} \]

Poďme si to zosumarizovať. Ak uvažujeme prísavku kruhového tvaru, pre ktorú \(S=\pi r^{2}\), tak pre nosnosť prísavky sme našli dvojicu podmienok \[\begin{eqnarray*} m & \leq & \frac{\pi fr^{2}p_{a}}{g}\textrm{;}\\ m & \leq & \frac{\pi r^{3}p_{a}}{gl}\textrm{.} \end{eqnarray*}\] Teoretická maximálna nosnosť prísavky je teda \[ m_{\mathrm{max}}=\frac{\pi r^{2}p_{a}}{g}\cdot\min\left\{ f,\frac{r}{l}\right\} \textrm{.} \]

Skúsme si to vyčísliť: nech \(r\approx l\approx\SI{2}{\centi\metre}\), \(p_{a}\approx\SI[parse-numbers=false]{10^{5}}{\pascal}\), \(g\approx\SI{10}{\metre\per\second\squared}\) a \(f\approx\num{0.5}\) – potom \(m_{\mathrm{max}}\approx\SI{6}{\kilo\gram}\).

###Komentár k riešeniam

Úloha bola pomerne jednoduchá a mnohí z vás sa aj dopracovali k správnemu výsledku. Napriek tomu zvyčajne nemáte plný počet bodov. Rozhodol som sa totiž úlohu hodnotiť prísne a body som strhával, ak sa vo vašej argumentácii objavila nejaká chyba alebo ak nebolo odargumentované niečo, čo podľa môjho názoru odargumentované byť malo. Veď ako sa hovorí – dokonalosť sa dosahuje detailami, ale dokonalosť nie je detail. Týmto chválim Štefana Slavkovského, ktorý ako jediný uspokojil moje náročné očakávania.

Poďme si postupne prejsť najčastejšie chyby:

• Väčšina ste správne identifikovali, že prísavka sa môže buď zošuchnúť alebo odlepiť. Niektorí však pozabudli na druhú možnosť a vyšetrovali tak len roovnováhu síl a na momenty pozabudli.

• Pri vyšetrovaní prvej možnosti robilo najväčší problém trenie. Niektorí ste uvádzali, že prísavka sa nezošuchne, pokiaľ je trecia sila väčšia než tiaž závažia. Po chvíľke zamyslenia by vám malo byť jasné, že je to nezmysel, pretože v takom prípade by výsledná sila pôsobiaca na prísavku vo vertikálnom smere bola nenulová, a teda trecia sila by mala urýchľovať prísavku nahor. Trecia sila musí byť samozrejme rovná tiaži zaveseného telesa, a tá nerovnosť pochádza z podmienky, že trecia sila je menšia, nanajvýš rovná súčinu normálovej sily a súčiniteľa statického trenia.

• Častou chybou bolo, že ste uvádzali, že na prísavku pôsobia tri sily, pričom ste zabúdali na normálovú silu od steny. V takom prípade ste nemali dosiahnutú rovnováhu síl v horizontálnom smere, čo napríklad znamená, že vám tlaková sila vzduchu urýchľuje prísavku cez stenu. Okrem toho to malo neskôr pri vyšetrovaní momentov síl ďalekosiahle dôsledky.

• Ak ste aj na normálovú silu od steny nezabudli, zakresľovali ste ju do stredu prísavky. Potom, keď ste robili bilanciu momentov, tak ste ju vynechali. Keby ste ju však započítali, tak by mala mať presne rovnako veľký moment ako tlaková sila vzduchu, len opačného smeru, takže vo výsledku by sa mali vyrušiť a nemal by tam byť žiaden moment, ktorý by kompenzoval moment tiaže závažia.

• Mnohí ste uvádzali, že moment tiaže závažia má byť menší ako moment tlakovej sily vzduchu, prípadne že sa tieto momenty majú v hraničnom prípade rovnať. To je v princípe správne, no body som strhával za to, že nebolo odargumentované, prečo do výpočtu neberieme moment normálovej sily od steny. Ak povieme, že moment tiaže má byť menší ako moment tlakovej sily, znamená to, že momenty nie sú v rovnováhe? Potom by sa mala predsa prísavka začať otáčať smerom do steny. Ak povieme, že v hraničnom prípade sú momenty v rovnováhe, tak čo potom, keď zavesíme na prísavku ľahšie závažie? Vtedy sa nám pokazí rovnováha a začne sa prísavka otáčať do steny? Nie. Vtip je v tom, že vy, čo ste toto napísali, ste zvyčajne celý čas ignorovali normálovú silu od steny. Keby ste ju uvažovali, tak vám to nie len porieši rovnováhu síl v horizontálnom smere, ale zároveň aj zabezpečí, že momenty budú vždy v rovnováhe (pokiaľ prísavka neodkväcne) a všetko bude v súlade s kostolným (ehm, Newtonovým) poriadkom. Ale prečo ste potom dostali správny výsledok aj napriek tomu, že ste ignorovali takú dôležitú silu. Nuž, keď na prísavku zavesíme nejaké závažie, pôsobisko normálovej sily od steny sa posunie pod stred prísavky. Čím ťažšie závažie zavesíme, tým nižšie sa toto pôsobisko posunie. V hraničnom prípade, ktorý nás zaujíma, sa pôsobisko normálovej sily posunie až na spodný okraj prísavky, a teda v tomto prípade je jej moment nulový, lebo má rameno nulovej dĺžky. A práve za absenciu takéhoto zdôvodnenia som strhával body, v inak správnych riešeniach, asi najčastejšie.