7. Manéver vzorové riešenie

Ako to často býva, ak nájdeme nejakú zachovávajúcu sa veličinu, výrazne si pomôžeme. V tomto prípade je tou veličinou moment hybnosti vzhľadom na os kolotoča, keďže na systém kolotoč + Nina nepôsobia vonkajšie sily s nenulovým príslušným momentom sily vzhľadom na os otáčania. Len poznamenajme, že na systém pôsobia ešte tiažová sila a sila od fyzickej osi kolotoča, ale ich moment sily vzhľadom na os otáčania je nulový.

Aký veľký je tento moment hybnosti?

Na to, aby sme to vedeli, potrebujeme poznať moment zotrvačnosti prázdneho kolotoča \(I\), moment hybnosti potom získame ako: \[L=I\omega\] Moment zotrvačnosti celého kolotoča okolo jeho osi bude súčtom momentov zotrvačnosti jeho štyroch obručí. Už nám len stačí určiť moment zotrvačnosti obruče (kružnice), okolo osi prechádzajúcej jej stredom a ležiacej v rovine obruče. Jedna možnosť je niekde ho nájsť, ale mne sa to (v slovenčine) len tak z voleja nepodarilo, a tak si ukážeme nástroj, vďaka ktorému ho určíme na kolene.

Veta o kolmých osiach

Majme rovinný útvar a karteziánske súradnice zvolené tak, že útvar leží v rovine \(xy\). Príspevok malého kúsku hmotnosti \(\Delta m\) k momentu zotrvačnosti okolo ľubovoľnej osi je \(\Delta I=\Delta m v^2\), kde \(v\) je kolmá vzdialenosť kúsku od danej osi. Pozrime sa na takýto kúsok nášho útvaru a na jeho príspevok k momentom zotrvačnosti vzhľadom na súradnicové osi. Z Pytagorovej vety dostávame: \[\begin{align*} \Delta I_x &= \Delta m y^2\\ \Delta I_y &= \Delta m x^2\\ \Delta I_z &= \Delta m \left(x^2+y^2\right)=\Delta I_x+\Delta I_y \end{align*}\]

Keďže celkový moment zotrvačnosti je súčtom takýchto čiastkových, na úrovni celého telesa dostávame: \[ I_z=I_x+I_y \]

Aplikujme to na našu tenkú obruč. U tej zo symetrie vieme, že \(I_x=I_y=:I_O\), a teda podľa vety o kolmých osiach: \[ I_O=\frac{1}{2}I_z=\frac{1}{2}MR^2, \] kde \(I_z=MR^2\) je známy moment zotrvačnosti obruče okolo osi prechádzajúcej jej stredom a kolmej na rovinu v ktorej leží.

Teraz už vieme určiť hodnotu zachovávajúceho sa momentu hybnosti ako: \[ L=I\omega=4I_O\omega=2MR^2\omega \] Nechajme sa chytiť Ninu a prejsť ju do vzdialenosti \(r\) od osi kolotoča (hneď po chytení sa je \(r=R\)), a pozrime sa na moment hybnosti: \[ 2MR^2\omega=I\omega=L=I'\left(r\right)\omega'\left(r\right), \] kde \(I'\left(r\right)=I+mr^2\) je moment zotrvačnosti kolotoča aj s Ninou a \(\omega'\left(r\right)\) je nová uhlová rýchlosť, ktorú vďaka vyššie napísaného ZZMH vieme hneď vyjadriť ako: \[ \omega'\left(r\right)=\frac{L}{I'\left(r\right)}=\frac{I}{I+mr^2}\omega=\frac{2M}{2M+m\left(\frac{r}{R}\right)^2}\omega{} \] Vidíme, že po dosadení \(r=0\) (Nina sa stíska s osou) je \(\omega'\left(0\right)=\omega\), a teda kolotoč sa točí tak, ako na začiatku.

Pozrime sa teraz na prácu, ktorú svojím presunom do stredu Nina vykonala. Vieme, že hocaká zmena (mechanickej) energie je platená prácou. Zmena rotačnej energie sústavy počas Nininho presunu z okraja k osi je: \[ \Delta E_1=\frac{1}{2}I'\left(0\right)\omega'^2\left(0\right)-\frac{1}{2}I'\left(R\right)\omega'^2\left(R\right)=\frac{1}{2}L\left(\omega'\left(0\right)-\omega'\left(R\right)\right)=\frac{mM}{2M+m}R^2\omega^2{} \] Netreba však zabudnúť na prácu, ktorú Nina vykonala pri chytení sa, vieme totiž, že tým kolotoč spomalila. Tomu zodpovedá zmena energie: \[ \Delta E_2=\frac{1}{2}I'\left(R\right)\omega'^2\left(R\right)-\frac{1}{2}I\omega^2=...=-\Delta E_1 \] Počas troch bodiek len vojde do hry to, že \(I=I'\left(0\right)\) a \(\omega=\omega'\left(R\right)\). Ako vidíme, korektne by celková práca vykonaná Ninou mala byť \(W=0\). To znie trochu podozrivo, veď predsa ak sa spýtame Niny v strede, či má pocit, že dačo robila, pravdepodobne by povedala že hej, a ak sa nám to nezdá, môže spraviť ešte o kus viacej. Tento rozdiel vzniká v tom, že to čo cíti Nina (\(W_N=\Delta E_1\)) je práca, ktorú vykonali jej svaly. To, že keď nasadala na kolotoč pričom ju trochu zohriala nepružná zrážka s obručou a dodala jej trochu kinetickej energie jej svaly oddýchnutosťou nenabije. Uznávané teda boli oba výsledky, aj \(0\), aj \(\frac{mM}{2M+m}R^2\omega^2\).