3. Viac-menej odporná vzorové riešenie

Zadanie

Kubo sa hral so šiestimi rezistormi. Rozlične ich zapájal, až v jednom čosi puklo a pokazil sa. Tento rezistor mal následne iný odpor, ako všetky ostatné - nevedno však, či väčší alebo menší. Kubo sa rýchlo vydal zohnať náradie na opravu. Medzitým však prišla Lucka a z rezistorov poskladala presne takú schému, ako vidíš na obrázku.

Keď sa Kubo vrátil, nemal poňatia, ktorý rezistor je pokazený. Tak vzal ohmmeter a začal merať odpory na jednotlivých uzloch. Na koľko najmenej meraní dokáže určiť pokazený rezistor a ako to má urobiť? Určte tiež odpor pokazeného rezistora ak viete, že fungujúce rezistory majú odpor \(R\).

Pri riešení úloh s odpormi je veľmi často veľmi dôležité si obvod prekresliť, prípadne si uvedomiť, že nie je až taký zložitý ako si myslíme, dosť to uľahčuje výpočty aj uvažovanie. Pozrime sa teda na náš obvod, označme si jednotlivé uzly A, B, C a D, a jednotlivé rezistory \(R_1, \cdots, R_6\):

Všimnime si, že medzi každými dvoma uzlami máme presne jeden rezistor. To znamená, že si obvod vieme prekresliť takto:

Označme si odpor pokazeného rezistora \(R'\). Uvažujme, bez ujmy na všeobecnosti (keďže je obvod symetrický) prípad, keď meriame odpor medzi uzlami \(A\) a \(B\). Pozrime sa na prípady, keď je pokazený rezistor \(R_1\) alebo rezistor \(R_6\). V týchto prípadoch je rozdiel potenciálov medzi uzlami \(C\) a \(D\) nulový, čo jasne vidíme z horizontálnej symetrie obvodu (ak by sme uzly \(C\) a \(D\) vzájomne vymenili bezo zmeny jednotlivých odporov, nič by sa nezmenilo), a preto môžeme rezistor \(R_6\) veselo odignorovať. Zostáva nám už len obvod s troma paralelnými vetvami, z ktorých každá je len sériovým zapojením pár rezistorov. Výsledný odpor paralelného zapojenia dvoch vetiev s odpormi \(R_I, R_{II}\) je \(R_I R_{II} / \left(R_I + R_{II}\right)\). Podobne výsledný odpor sériového zapojenia dvoch vetiev s odpormi \(R_I, R_{II}\) je \(R_I+R_{II}\). Pomocou tohoto ľahko vyrátame, že výsledný odpor zapojenia je \(0.5R\) ak je rezistor \(R_6\) pokazený, a \(R R' / \left(R+R'\right)\) ak je pokazený rezistor \(R_1\), a v tomto prípade vieme povedať, že \(R' = R R_{AB} / \left(R_{AB}-R\right)\).

Pozrime sa teraz na zvyšné 4 prípady (pokazený je jeden z rezistorov \(R_2,\cdots R_5\). Z horizontálnej symetrie obvodu vidíme, že prípady keď je pokazený rezistor \(R_2\) či \(R_3\), ako aj prípady keď je pokazený rezistor \(R_4\) či \(R_5\) sú ekvivalentné. Keďže \(R_{AB}=R_{BA}\), tak vieme využiť aj vertikálnu symetriu obvodu, a teda vidíme, že výsledný odpor je rovnaký, bez ohľadu na to, či je pokazený rezistor \(R_2, R_3, R_4\), či \(R_5\). Pozrime sa teraz na to, ako ten odpor vieme zrátať. Uvažujme, bez ujmy na všeobecnosti, že týmto pokazeným rezistorom je práve rezistor \(R_3\). Všimnime si, že zapojenie medzi bodmi A a B je teraz paralelným zapojením rezistoru \(R_1\), a zapojenia zvyšných rezistorov. Pozrime sa teda na odpor tohoto zapojenia:

Uvažujme, že medzi uzlami A’ a B’ je napätie U, a tečie medzi nimi celkový prúd I, z čoho vyplýva, že platí \(R_{A'B'} = U/I\). Zo zapojenia si vieme na základe úbytku napätia na jednotlivých rezistoroch (znovu pomocou Ohmovho zákona) napísať týchto 5 rovníc:

\[ \begin{aligned} U_{D'} &= U_{A'} + R' I_1 \\ U_{C'} &= U_{A'} - R \left(I + I_1\right) \\ U_{D'} &= U_{C'} - R \left(I_1 - I_2\right) \\ U_{B'} &= U_{C'} - R \left(I + I_2\right) \\ U_{B'} &= U_{D'} + R I_2, \end{aligned} \]

pričom napätia si zoberieme vzhľadom na uzol B’, čiže \(U_{A'} = U\) a \(U_{B'} = 0\). Riešením týchto piatich rovníc zistíme, že odpor tohoto zapojenia je

\[\frac{R\left(3R+5R'\right)}{5R+3R'}.\]

A teda celkový odpor zapojenia je

\[\frac{R\left(3R+5R'\right)}{8\left(R+R'\right)},\]

z čoho získame \(R'\) ako \(\left(R \left(8 R_{AB}-3R\right)\right)/\left(5 R - 8 R_{AB}\right)\).

Všimnime si jednu veľmi podstatnú vec, a to síce, že tieto tri prípady s rôznymi nebudú mať nikdy rovnaký odpor, ak \(R\neq R'\), čo nám uľahčuje situáciu.

Keďže už máme vyrátané jednotlivé možnosti výsledného zmeraného odporu, pozrime sa na to, ako na čo najmenej meraní zistiť, ktorý rezistor je pokazený, a jeho odpor.

Začnime zmeraním odporu medzi A a B. V prípade, že je tento odpor \(0.5R\), vieme, že pokazený je rezistor \(R_6\), a jeho odpor vieme ľahko získať zmeraním \(R_{CD}\) ako \(R_{CD}R/\left(R_{CD}-R\right)\). V prípade, že je odpor iný, povedzme, \(R_x\), zmerajme odpor medzi uzlami A a C. Ak je tento odpor \(0.5R\), vieme, že pokazený je odpor \(R_5\), a jeho odpor vieme vyrátať ako \(\left(R \left(8 R_x-3R\right)\right)/\left(5 R - 8 R_x\right)\). V prípade, že je odpor medzi A a C \(R_x\), vieme, že pokazený je jeden z rezistorov \(R_3\), alebo \(R_4\)(to sú jediné dva, ktoré majú pri meraní \(R_{AB}\) a \(R_{AC}\) „rovnakú pozíciu“. Už vieme, že jeho odpor je \(\left(R \left(8 R_x-3R\right)\right)/\left(5 R - 8 R_x\right)\). To, ktorý z týchto dvoch to je vieme rýchlo zistiť zmeraním odporu medzi A a D, pričom ak je tento odpor \(0.5R\), tak je pokazený rezistor \(R_4\), inak \(R_3\). Poslednou možnosťou je, že odpor medzi uzlami A a C je \(R_y\), čo znamená, že pokazený je buď odpor \(R_1\), alebo \(R_2\). Ak teda zmeriame odpor medzi uzlami C a D, dostaneme buď odpor \(0.5R\), čo znamená, že pokazený je rezistor \(R_1\), a jeho odpor vieme získať ako \(R R_x / \left(R_x-R\right)\). V opačnom prípade vieme, že je pokazený rezistor \(R_2\), no a v tom prípade jeho odpor vieme získať ako \(R R_y / \left(R_y-R\right)\).

Otázka, ktorá je na mieste je, či to ide na menej ako tri merania. Odpoveď je, že nie, pozrime sa prečo: Začnime, b.ú.n.v. tým, že zmeriame odpor \(R_{AB}\). Zistíme, že to nie je \(0.5R\). Meraním odporu medzi bodmi C a D buď ukončíme hľadanie, alebo nezískame žiadnu informáciu. Ten druhý prípad, a to síce, že b.ú.n.v. zmeriame odpor medzi uzlami A a C sme prebrali vyššie.

Vo všetkých prípadoch sme teda zistili, ktorý rezistor je pokazený, aj to, aký je jeho odpor na najviac tri merania.