7. Sladké potešenie vzorové riešenie

Zadanie

Duško si chcel osladiť čaj medom. Otvoril teda skriňu vo FKS miestnosti a hľadal med. Našiel však iba nekonečnú odporovú sieť tvaru včelieho plástu. Vie, že drôt medzi každými dvoma susednými bodmi siete má odpor \(R\). Aký je odpor medzi bodmi \(A\) a \(B\) vyznačenými na obrázku?

Predstavme si situáciu, že do obvodu cez bod \(A\) bude pritekať prúd \(I\) a v nekonečne bude obvod uzemnený. Keďže každá hrana plastu má odpor \(R\) a celý plást je symetrický na otočenie o \(\ang{120}\), prúd sa začne deliť rovnomerne, tj. do každého z troch hrán začínajúcich v \(A\) potečie prúd \(I/3\). Teraz zoberme druhý prípad nechajme z nekonečna pritekať prúd do bodu \(B\) kde bude vytekať. Analogicky, každou hranou bude susednou s \(B\) bude pritekať prúd \(I/3\).

Teraz keď tieto dva modely cez seba sčítame, t.j. v každej hrane bude tiecť prúd \(I_A+I_B\) kde \(I_A\) (resp. \(I_B\)) je prúd, ktorý tečie hranou v modeli prítoku do \(A\) (je prúd, ktorý tečie hranou v modeli výtoku v \(B\)). Nezabudnime však na smer tečenia prúdu. Teda treba uvažovať, že ak sú opačne orientované a nech \(|I_A|>|I_B|\) tak výsledný prúd bude v smere \(I_A\) a bude mať veľkosť \(I_A-I_B\). Uvedomme si, že v nekonečne už nebudeme mať ani stoku ani zdroj, lebo rozdiely prúdov tam budú nulové.

V hrane \(AB\) bude teraz tiecť prúd \(I/3+I/3=2I/3\). A čo vo zvyšku? No vieme, že v zdroji \(A\) priteká prúd \(I\) a v stoke \(B\) odteká prúd \(I\) takže zvyškom musí dokopy tiecť prúd \(I/3\). No a teraz stačí nájsť takú elementárnu schému obvodu, čo rozdelí prúd na \(2I/3\) cez rezistor s odporom \(R\) a \(I/3\) rezistorom s odporom \(x\), tj. sériové zapojenie. No ale, keďže musí platiť \(2I/3 \cdot R = x \cdot I\) tak jednoducho vieme dopočítať, že \(x=2R\). Preto schému, na ktorú zjednodušíme plást je paralelne zapojenie dvoch rezistorov jeden s odporom \(R\) a druhý s odporom \(2R\). Toto zapojenie má celkový odpor

\[\frac{1}{\frac{1}{R}+\frac{1}{2R}}=\frac{1}{\frac{3}{2R}}= \frac{2R}{3}.\]

Teda celkový odpor medzi bodmi \(A\) a \(B\) vo včeľom plaste je \(\frac{2R}{3}\).