Zadanie

Astronaut Kvík zostúpil v pristávacom module na povrch planéty. Chcel by zmerať tlak vzduchu, no barometer si zabudol v materskej lodi. Mal však so sebou teplomer, váhy a dĺžkové meradlo. Dostal preto nápad. Nafúkne si balónik a zmeria jeho veľkosť a hmotnosť. Zapol váhu a odmeral hmotnosť balónika. Odmeral teplotu vzduchu a z toho chcel dopočítať atmosférický tlak. Vie, že elastická energia balónika rastie s jeho polomerom. Podarí sa mu takto určiť tlak atmosféry na jeho planéte? Ak áno, ako? Ak nie, prečo?

Môžete predpokladať, že tiažové zrýchlenie je na Kvíkovej planéte rovnaké, ako na Zemi.

Našou úlohou je nájsť atmosférický tlak na planéte. Prv než sa pustíme do zložitých úvah, použime techniku, ktorá nás nestojí takmer žiadnu námahu a v prípade, že ho nie je možné určiť, nám môže ušetriť kopu času. Ide o rozmerovú analýzu.

Chceme určiť tlak, ktorého rozmer je \(\left[p\right]=\si{\kilo\gram\per\metre\per\second\squared}\), a vieme merať dĺžku (rozmer ), hmotnosť (rozmer ) a teplotu (rozmer ). Pomocou týchto veličín potrebujeme nakombinovať výraz rozmeru tlaku. To sa na prvý pohľad zdá ako nemožné, keďže nikde nevystupuje čas. Nezabúdajme však na konštanty.

Vieme merať teplotu a tu sa nám núka Boltzmannova konštanta, ktorá v kombinácii s teplotou dáva \(\left[kT\right]=\si{\kilo\gram\cdot\metre\squared\per\second\squared}\). Alebo vieme, že na planéte je rovnaké tiažové zrýchlenie ako na Zemi, teda poznáme veličinu rozmeru \(\si{\metre\per\second\squared}\). Čiže rozmerová analýza pripúšťa, že určiť tlak je možné. Musíme sa teda nad úlohou zamyslieť detailnejšie.

Zamyslime sa najskôr, čo nám ukáže váha, keď na ňu položíme nafúknutý balónik. Bude to hmotnosť elastického materiálu \(M\), z ktorého je balónik vyrobený, plus hmotnosť vzduchu vo vnútri \(m\), mínus vztlak \(V\rho_{a}\),1 kde \(V\) je objem balónika a \(\rho_{a}\) je hustota atmosféry. Matematicky zapísané \[ \mu=M+m-V\rho_{a}=M+V\rho-V\rho_{a}=M+V\left(\rho-\rho_{a}\right)\textrm{,} \] kde \(\rho\) je hustota vzduchu vo vnútri balónika, ktorá je väčšia než hustota vzduchu vonku kvôli stláčaniu balónikom.

Nájdime, čomu je rovná hustota vzduchu vo vnútri balónika. Využijeme, že tlak je aditívna veličina, a teda tlak vo vnútri \(p\) je súčtom atmosférického tlaku \(p_{a}\) a tlaku od balónika \(p_{e}\)2 \[ p=p_{a}+p_{e}\textrm{.} \]

Tlak od balónika závisí od miery nafúknutia balónika, t.j., od jeho polomeru \(r\). Vieme ho určiť, ak poznáme, ako závisí elastická energia \(E_{e}\left(r\right)\) od polomeru. Ak poznáme elastickú energiu, tak vieme určiť silu \(F_{e}\left(r\right)\), ktorou balónik stláča vzduch vo vnútri.3 Ak energia závisí od polomeru, potom aj sila závisí od polomeru. No a tlak elastickej sily od balónika je potom \(p_{e}\left(r\right)=\frac{F\left(r\right)}{4\pi r^{2}}\).

Na záver nájdime, ako závisí hustota vzduchu od tlaku. Podľa stavovej rovnice \(pV=NkT\). Postupnými úpravami dostávame \[ p=\frac{NkT}{V}=\frac{nN_{A}kT}{V}=\frac{mR_{m}T}{M_{m}V}=\rho\frac{R_{m}}{M_{m}}T\textrm{,} \] teda \(\rho=\frac{M_{m}}{R_{m}T}p\).

To nám umožňuje vyjadriť hmotnosť ukázanú na váhe pomocou tlakov \[ \mu=M+\frac{M_{m}V}{R_{m}T}\left(p-p_{a}\right)\textrm{.} \] Lenže z rovnováhy tlakov cez vnútorný povrch balónika \(p=p_{a}+p_{e}\), teda \[ \mu=M+\frac{M_{m}V}{R_{m}T}\left(p_{a}+p_{e}-p_{a}\right)=M+\frac{M_{m}V}{R_{m}T}p_{e}\textrm{,} \] čo nezávisí od atmosférického tlaku, preto uvedenou metódou nie je možné určiť atmosférický tlak.

  1. Toto možno tvrdiť, pretože tiažové zrýchlenie na planéte je rovnaké ako na Zemi, na ktoré bola váha kalibrovaná. Ak by nebolo, tak váha by ukazovala hodnotu, ktorá by sa líšila od skutočnej hmotnosti konštantným faktorom rovným pomeru tiažového zrýchlenia na Zemi a na planéte. To by však nebol problém – stačilo by aplikovať túto korekciu. Jej veľkosť by sme určili jednoducho – napríklad tak, že by sme odvážili seba predpokladajúc, že svoju skutočnú hmotnosť poznáme.↩︎

  2. Pretože platí rovnaváha síl cez vnútorný povrch balónika \(p_{a}S+p_{e}S=pS\), kde \(S\) je povrch balónika.↩︎

  3. Ako presne vypočítame silu, nás nemusí veľmi zaujímať. No pre zvedavcov uveďme, že elastická energia je rovná práci, ktorú treba vykonať pri nafukovaní balónika. To znamená, že ak máme balónik nafúknutý na polomer \(r\) a chceme ho nafúknuť ešte o \(\textrm{d}r\), tak tým vykonáme prácu \(F\left(r\right)\textrm{d}r\), čiže zvýšime energiu o \(\textrm{d}E_{e}=F\left(r\right)\textrm{d}r\). Odtiaľ \(F\left(r\right)=\frac{\textrm{d}E}{\textrm{d}r}\).↩︎

Diskusia

Tu môžte voľne diskutovať o riešení, deliť sa o svoje kusy kódu a podobne.

Pre pridávanie komentárov sa musíš prihlásiť.