4. Úloha o kole vzorové riešenie

Riešenie Kuba Klimenta bolo natoľko dobré, že po opravení zopár detailov som sa rozhodol ho použiť ako vzorák.

Keďže mechanický výkon nevieme merať priamo, tak pred samotným meraním sa musíme najprv zamyslieť nad tým, ako ho zmerať nepriamo, teda aké čo najlepšie merateľné veličiny na to vieme využiť. Mechanický výkon je daný ako práca, alebo teda dodaná energia \(E\) za nejaký čas \(t\). Keďže nás zaujíma okamžitý mechanický výkon, budeme sa pozerať len na nejaký veľmi malý kúsok koly¹ a bude nás zaujímať, koľko energie mu za aký čas dodali mentosky². Kinetická energia, ktorú mentosky (resp. natlakovaná fľaša) dodajú kole, sa v prípade zvislého postavenia fľaše rýchlo premení na potenciálnu tým, že kola vyletí do určitej výšky \(h\), preto vieme túto energiu vypočítať ako \(E = mgh\).

Ešte ale potrebujeme vedieť, ako dlho fľaša túto energiu \(E\) nejakému tomu malému kolovému telesu dodávala. Tento čas závisí od objemového prietoku koly hrdlom fľaše, jeho rýchlosť vieme vypočítať z počiatočnej kinetickej energie kolového telesa. Povedzme, že fľaša zo svojho hrdla vystrelila kolové teleso hmotnosti \(m\), ktoré vyletelo do výšky \(h\), v tomto momente premenilo teleso všetku svoju kinetickú energiu na potenciálnu, o ktorej vieme, že jej veľkosť je \(E_p = mgh\), preto zo ZZE:

\[\begin{aligned} E_k &= E_p \\ \frac{1}{2}mv^2 &= mgh \\ v &= \sqrt{2gh} \end{aligned}\]

Takže v momente, keď kola vyletela z hrdla fľaše (a mala ešte nulovú potenciálnu energiu), mala prietokovú rýchlosť \(v = \sqrt{2gh}\). Teda vieme vypočítať, a preto aj nepriamo zmerať prietokovú rýchlosť koly. Nás ale zaujíma čas, za ktorý mentosky dodajú kolovému telesu energiu \(E = mgh\).

Predstavme si kolové teleso ako valec s podstavami veľkosti prierezu hradla fľaše a výškou \(l\), ktoré bude urýchlené hrdlom fľaše von. Ak budeme kolu vo fľaši považovať za homogénnu nestlačiteľnú kvapalinu pod tlakom bez turbulentných prúdov, dostaneme, že kola sa vo fľaši (až na hrdlo) nehýbe a iba jej časť v hrdle je tlakom vystreľovaná von bez toho, aby výrazne ovplyvňovala zvyšok objemu (okrem postupnej zmeny tlaku/objemu). Takže bez ujmy na všeobecnosti môžeme uvažovať, že kolové teleso je urýchľované, a teda je mu dodávaná energia až vtedy, keď sa nachádza v hrdle fľaše, teda vtedy, keď bude jeho vrchná podstava úplne na konci hrdla. To znamená, že mu je energia dodávaná práve čas, za ktorý sa dostane celé teleso von z fľaše, teda, kým prejde dráhu \(l\) rýchlosťou \(v\), z čoho \(t = \frac{l}{v}\). Takže pre dostatočne malé kolové teleso - teleso s výškou \(l\) blížiacou sa k nule, si vieme vyjadriť okamžitú zmenu energie za čas, a teda aj okamžitý mechanický výkon fľaše s mentoskami.

\[\begin{aligned} P &=\frac{E}{t}\\ &= mgh \cdot \frac{v}{l}\\ &= V \rho gh \cdot \frac{\sqrt{2gh}}{l}\\ &= \frac{S l \rho gh \sqrt{2gh}}{l}\\ &= \sqrt{2} S \rho \left(gh\right)^{\frac{3}{2}}\\ P &= \sqrt{2} \pi r^2 \rho \left(gh\right)^{\frac{3}{2}} \end{aligned}\]

kde \(r\) je polomer hrdla fľaše, \(\rho\) je hustota koly, \(g\) je gravitačné zrýchlenie a \(h\) je zmena výšky koly. Tým dostávame, že ak považujeme gravitačné zrýchlenie za konštantu, nám stačí zmerať polomer \(r\), hustotu \(\rho\) a výšku \(h\). Keďže pred vhodením mentosiek fľaša nebýva úplne plná, výšku \(h\) uvažujeme od jej počiatočnej hladiny.

Samotné meranie prebiehalo nasledovne: Nakúpil som si veľa rovnakých fliaš Coca-Coly Zero (bez cukru) \(\SI{1,25}{\litre}\) a rovnakých balení cukríkov mentos mint. Najprv som testoval, ako výrazne reagujú s kolou, na základe čoho som sa rozhodol do nej pri meraniach vhadzovať vždy \(\num{4}\) kusy, aby bola reakcia výraznejšia a lepšie merateľná. Výšku prúdu koly som meral tak, že som ju z väčšej vzdialenosti (kvôli minimalizácií skreslenia) natáčal na video, ktoré som potom neskôr spracoval v programe Tracker.

Zo začiatku som nechával kolu striekať priamo hrdlom fľaše s polomerom \(r_0 = \SI{10,97+-0,27}{\milli\metre}\), potom bol ale prúd veľmi široký, dosahoval dosť nízku maximálnu výšku a preto boli merania nepresné. Preto som na ďalšie merania hrdlo fľaše zúžil redukciou s s otvorom s polomerom \(r = \SI{6,92+-0,31}{\milli\metre}\). Maximálna výška prúdu koly sa u jednotlivých fliaš dosť líšila, priemerná nameraná hodnota mi vyšla \(h = \SI{75,3+-10,7}{\centi\metre}\). Hustotu Coca-Coly Zero som si vedel nájsť aj na internete, ale pre účely odhadu chyby výsledku som si ju tiež zmeral (cez objem a hmotnosť): \(\rho = \SI{1002+-19}{\kilogram\per\metre\cubed}\). Z nameraných hodnôt dostávame maximálny okamžitý mechanický výkon:

\[\boxed{P = \SI{4,279+-1,380}{\watt}}\]

Môžeme vidieť, že nameraný výkon má pomerne veľkú odchýlku, tá ale aspoň nie je väčšia ako nameraná hodnota. Pre fľašu s otvoreným hrdlom (otvorom s polomerom \(r_0\)) mi vyšiel maximálny okamžitý výkon len \(\SI{1,16}{\watt}\), ale odchýlka viac ako jeden a pól krát väčšia ako samotná nameraná hodnota, takže meranie s menším otvorom bolo ešte celkom presné.

Nepresnosti merania:

Veľa nepresností (aproximácií) nastalo už v teórií, pretože som uvažoval až moc dokonalú kolu bez vnútorného prúdenia či akéhokoľvek pohybu. Rovnako som neuvažoval odpor vzduchu, kvôli ktorému sa nepremenila všetka kinetická energia na len potenciálnu, ale aj na teplo a zvuk, kvôli čomu neplatí \(E_k = E_p\). Ďalej som si ani nezmeral gravitačné zrýchlenie pre danú lokalitu a počítal som so známou hodnotou pre Slovensko: \(g = \SI{9, 81}{\metre\per\second\squared}\). Meranie samotné bolo napriek veľkej odchýlke (spôsobenej rozdielom jednotlivých fliaš) celkom presné, keďže ho za mňa vykonával počítač. Meranie však nebolo veľmi relevantné, pretože výkon koly s mentoskami závisí od konkrétnej fľaše, jej objemu, množstva \(\text{CO}_2\), ktorý z nej už vyprchal a samozrejme aj počtu mentosiek. Teda som zmeral len výkon v mojich konkrétnych podmienkach.

K bonusu:

Celkovú mechanickú energiu, ktorú kola získa vhodením mentosiek vieme vypočítať buď jednoducho ako zmenu tlaku vynásobenú objemom fľaše \(E = V \Delta p\) alebo ako súčet kinetických energií dodaných jednotlivým malým kolovým telesám, teda ako \(E = V'\rho g \overline{h}\), kde \(V'\) je objem vytlačenej koly z fľaše alebo teda aspoň tej, ktorá sa v priebehu reakcie posunula o nejakú nenulovú výšku \(h\) vyššie, a \(\overline{h}\) priemerná výška do ktorej bola vytlačená kola. Túto energiu sa mi však už nepodarilo zmerať (nestihol som), lebo som nemal prístup k manometru a druhý spôsob by bol veľmi nepresný.