Zadanie
Adam, neohrozený ľudským dôvtipom a praktickým fyzikálnym vzdelaním, sa podujal vyrobiť kladku. Prehodil lano cez pevný, vodorovný valec a začal dvíhať dáke teleso. Na jeho zármutok tento jednoduchý stroj vôbec neuľahčoval prácu tak, ako si predstavoval.
Ako si to predstavoval v skutočnosti, nevie ani on sám, ale ako to je, vie skutočnosť aj bez neho. Zmerajte, ako závisí sila, ktorou podklad brzdí lano, od dĺžky úseku lana dotýkajúceho sa valca.
Skôr, než začneme merať, si skúsme povedať, prečo by tam vôbec nejaká sila brzdiaca lano mala byť. Sila, ktorá brzdí lano, je trecou silou, a keďže nás zaujíma trenie pri pohybe lana, zaujíma nás šmykové trenie.
Ako by sme chceli trenie zmerať? Potrebujeme, aby sa závažie a aj celé lano hýbalo takým spôsobom, aby sme vedeli zistiť silu, ktorá by mala na závažie pôsobiť. Napríklad to vieme urobiť tak, že sa závažie bude hýbať rovnomerným priamočiarym pohybom, pričom by sme mali za lano ťahať silou \(F_g\). Kvôli trecej sile budeme ale za lano ťahať menšou silou ako \(F_g\), a tento rozdiel je rovný trecej sile. Keďže ale „ťahať za lano tak, aby sa závažie hýbalo rovnomerný priamočiarym pohybom“ nie je jednoduché urobiť presne, musíme si nájsť nejaký iný pohyb, pri ktorom vieme veľkosť trecej sila vypočítať.
Pohyb, ktorý hľadáme, je pád. Vieme jednoducho vypočítať, alebo aj odmerať, ako dlho by malo závažie padať na zem, ak by padalo voľným pádom. V prípade, ak si odmeriame ako dlho bude závažie padať s tým, že sa bude lano dotýkať valca, vieme vypočítať, aká veľká je sila, ktorou valec lano brzdí. Ako to vypočítať? Poznáme časy, za ktorý dopadne teleso na zem, s tým, že na neho pôsobí len tiažová sila, a s tým, že na neho pôsobí aj tiažová, aj trecia sila.
Úlohu sme chceli merať tak, že sme zistili ako dlho padá brzdené závažie, a chceli sme z tohoto údaju na základe toho, ako by podľa výpočtov malo padať závažie vypočítať, ak by padalo voľným pádom vypočítať, akou silou bolo brzdené. Bohužiaľ, po prvých výpočtoch z nameraných údajov bolo jasné, že to takto nepôjde, z dôvodu, že ak by nebolo ničím brzdené, tak by nepadalo voľným pádom, ale bolo by brzdené dlhým lanom, na ktorom bolo zavesené.
Keďže pre výšku pádu \(h\), zrýchlenie pádu \(a\), závažie hmotnosti \(m\), a čas pádu \(t\) platí \[ F = ma \qquad\text{a zároveň}\qquad h = \frac{1}{2}at^2, \] musí platiť \[ F = \frac{2mh}{t^2}. \]
Silu v prípade, keď lano nič nebrzdí, si označme \(F_g\). Potom \[ F_g = \frac{2mh_{\mathrm{nebrzdené}}}{t_{\mathrm{nebrzdené}}^2}. \]
V prípade, že je lano brzdené trecou silou (označenou \(F_t\)), dostávame \[ F_{\mathrm{brzdená}} = F_g - F_t = \frac{2mh_{\mathrm{brzdené}}}{t_{\mathrm{brzdené}}^2}, \] z čoho už jednoducho dostaneme \[ \begin{aligned} F_t &= \frac{2mh_{\mathrm{nebrzdené}}}{t_{\mathrm{nebrzdené}}^2} - \frac{2mh_{\mathrm{brzdené}}}{t_{\mathrm{brzdené}}^2} \\ &= 2m\left(\frac{h_{\mathrm{nebrzdené}}}{t_{\mathrm{nebrzdené}}^2} - \frac{h_{\mathrm{brzdené}}}{t_{\mathrm{brzdené}}^2}\right). \end{aligned} \]
K samotnému meraniu: Najskôr sme zistili ako dlho padá závažie, ak sa lano ničoho nedotýka, a potom sme postupne merali ako dlho to trvá, kým dopadne závažie pri rôznych dĺžkach úseku, na ktorom sa lano a valec dotýkajú. Ako závažie boli použité dve fľaše s objemom \(\SI{3}{\deci\litre}\), a váhou \(\SI{0.641}{\kilo\gram}\). Aby sme zväčšili trenie, a tým minimalizovali chyby merania, na oceľovú rúrku sme namotali brúsny papier zrnitosti 180. Výsledný priemer rúrky aj s brúsnym papierom bol potom \(\SI{62.43}{\milli\metre}\).
Merania pre rôzne dĺžky úseku, kde sa lano dotýka valca
| Č. | výška | čas | \(F_g\) |
|---|---|---|---|
| 1. | \(\SI{0.62}{\metre}\) | \(\SI{0.39}{\second}\) | \(\SI{5.24}{\newton}\) |
| 2. | \(\SI{0.63}{\metre}\) | \(\SI{0.37}{\second}\) | \(\SI{5.93}{\newton}\) |
| 3. | \(\SI{0.58}{\metre}\) | \(\SI{0.31}{\second}\) | \(\SI{7.82}{\newton}\) |
| 4. | \(\SI{0.60}{\metre}\) | \(\SI{0.34}{\second}\) | \(\SI{6.68}{\newton}\) |
| Priemer | \(\SI{6.42}{\newton}\) |
Z toho priemerného \(F_g\) sme na základe nameraných síl, ktoré pôsobia na závažie, vypočítali silu, ktorou sú závažia brzdené.
| Č. | výška | čas | \(F_g - F_t\) | \(F_t\) |
|---|---|---|---|---|
| 1. | \(\SI{0.57}{\metre}\) | \(\SI{0.38}{\second}\) | \(\SI{5.06}{\newton}\) | \(\SI{1.36}{\newton}\) |
| 2. | \(\SI{0.61}{\metre}\) | \(\SI{0.38}{\second}\) | \(\SI{5.45}{\newton}\) | \(\SI{0.97}{\newton}\) |
| 3. | \(\SI{0.71}{\metre}\) | \(\SI{0.43}{\second}\) | \(\SI{4.92}{\newton}\) | \(\SI{1.49}{\newton}\) |
| 4. | \(\SI{0.61}{\metre}\) | \(\SI{0.37}{\second}\) | \(\SI{5.71}{\newton}\) | \(\SI{0.70}{\newton}\) |
| 5. | \(\SI{0.72}{\metre}\) | \(\SI{0.40}{\second}\) | \(\SI{5.82}{\newton}\) | \(\SI{0.59}{\newton}\) |
| Priemer | \(\SI{0.93}{\newton}\) |
| Č. | výška | čas | \(F_g - F_t\) | \(F_t\) |
|---|---|---|---|---|
| 1. | \(\SI{0.7}{\metre}\) | \(\SI{0.45}{\second}\) | \(\SI{4.46}{\newton}\) | \(\SI{1.95}{\newton}\) |
| 2. | \(\SI{0.71}{\metre}\) | \(\SI{0.43}{\second}\) | \(\SI{4.98}{\newton}\) | \(\SI{1.43}{\newton}\) |
| 3. | \(\SI{0.70}{\metre}\) | \(\SI{0.44}{\second}\) | \(\SI{4.66}{\newton}\) | \(\SI{1.76}{\newton}\) |
| 4. | \(\SI{0.71}{\metre}\) | \(\SI{0.48}{\second}\) | \(\SI{3.99}{\newton}\) | \(\SI{2.42}{\newton}\) |
| 5. | \(\SI{0.7}{\metre}\) | \(\SI{0.45}{\second}\) | \(\SI{4.47}{\newton}\) | \(\SI{1.94}{\newton}\) |
| 6. | \(\SI{0.7}{\metre}\) | \(\SI{0.46}{\second}\) | \(\SI{4.24}{\newton}\) | \(\SI{2.18}{\newton}\) |
| 7. | \(\SI{0.71}{\metre}\) | \(\SI{0.45}{\second}\) | \(\SI{4.49}{\newton}\) | \(\SI{1.93}{\newton}\) |
| Priemer | \(\SI{1.94}{\newton}\) |
| Č. | výška | čas | \(F_g - F_t\) | \(F_t\) |
|---|---|---|---|---|
| 1. | \(\SI{0.59}{\metre}\) | \(\SI{0.50}{\second}\) | \(\SI{3.02}{\newton}\) | \(\SI{3.39}{\newton}\) |
| 2. | \(\SI{0.69}{\metre}\) | \(\SI{0.48}{\second}\) | \(\SI{3.85}{\newton}\) | \(\SI{2.56}{\newton}\) |
| 3. | \(\SI{0.65}{\metre}\) | \(\SI{0.46}{\second}\) | \(\SI{3.93}{\newton}\) | \(\SI{2.48}{\newton}\) |
| 4. | \(\SI{0.67}{\metre}\) | \(\SI{0.46}{\second}\) | \(\SI{4.05}{\newton}\) | \(\SI{2.36}{\newton}\) |
| 5. | \(\SI{0.75}{\metre}\) | \(\SI{0.49}{\second}\) | \(\SI{4.01}{\newton}\) | \(\SI{2.40}{\newton}\) |
| Priemer | \(\SI{2.64}{\newton}\) |
| Č. | výška | čas | \(F_g - F_t\) | \(F_t\) |
|---|---|---|---|---|
| 1. | \(\SI{0.65}{\metre}\) | \(\SI{0.80}{\second}\) | \(\SI{1.31}{\newton}\) | \(\SI{5.10}{\newton}\) |
| 2. | \(\SI{0.54}{\metre}\) | \(\SI{0.48}{\second}\) | \(\SI{3}{\newton}\) | \(\SI{3.41}{\newton}\) |
| 3. | \(\SI{0.72}{\metre}\) | \(\SI{0.60}{\second}\) | \(\SI{2.58}{\newton}\) | \(\SI{3.83}{\newton}\) |
| 4. | \(\SI{0.75}{\metre}\) | \(\SI{0.84}{\second}\) | \(\SI{1.36}{\newton}\) | \(\SI{5.05}{\newton}\) |
| 5. | \(\SI{0.74}{\metre}\) | \(\SI{0.50}{\second}\) | \(\SI{3.81}{\newton}\) | \(\SI{2.60}{\newton}\) |
| 6. | \(\SI{0.67}{\metre}\) | \(\SI{0.51}{\second}\) | \(\SI{3.32}{\newton}\) | \(\SI{3.09}{\newton}\) |
| 7. | \(\SI{0.73}{\metre}\) | \(\SI{0.54}{\second}\) | \(\SI{3.23}{\newton}\) | \(\SI{3.18}{\newton}\) |
| Priemer | \(\SI{3.75}{\newton}\) |
| Č, | výška | čas | \(F_g - F_t\) | \(F_t\) |
|---|---|---|---|---|
| 1. | \(\SI{0.77}{\metre}\) | \(\SI{0.95}{\second}\) | \(\SI{1.09}{\newton}\) | \(\SI{5.32}{\newton}\) |
| 2. | \(\SI{0.76}{\metre}\) | \(\SI{0.80}{\second}\) | \(\SI{1.53}{\newton}\) | \(\SI{4.88}{\newton}\) |
| 3. | \(\SI{0.65}{\metre}\) | \(\SI{0.75}{\second}\) | \(\SI{1.49}{\newton}\) | \(\SI{4.92}{\newton}\) |
| 4. | \(\SI{0.74}{\metre}\) | \(\SI{1.07}{\second}\) | \(\SI{0.83}{\newton}\) | \(\SI{5.58}{\newton}\) |
| Priemer | \(\SI{5.18}{\newton}\) |
| Dĺžka dotýkajúceho sa úseku | Sila, ktorou je brzdené lano |
|---|---|
| \(\SI{0}{\milli\metre}\) | \(\SI{0}{\newton}\) |
| \(\SI{49.03}{\milli\metre}\) | \(\SI{0.93}{\newton}\) |
| \(\SI{98.06}{\milli\metre}\) | \(\SI{1.94}{\newton}\) |
| \(\SI{147.10}{\milli\metre}\) | \(\SI{2.64}{\newton}\) |
| \(\SI{196.13}{\milli\metre}\) | \(\SI{3.75}{\newton}\) |
| \(\SI{254.16}{\milli\metre}\) | \(\SI{5.18}{\newton}\) |
Z týchto meraní sme následne urobili graf:
Podľa grafu to vyzerá, že trecia sila je približne exponenciálne závislá na dĺžke úseku, kde sa lano dotýka valca.
Ku koncu riešenia experimentálky sa zvyknú uvádzať chyby merania. Inak tomu nebude ani teraz. Váhu závažia sme odmerali s presnosťou na \(\SI{\pm 1}{\gram}\). Priemer trubky sme merali mikrometrom s presnosťou na \(\SI{+-0.01}{\milli\metre}\). Čas dopadu sme zisťovali z videa pomocou programu Tracker, ktoré pochádzalo z kamery so snímkovacou frekvenciou 100 fps. Výšku, z ktorej závažie padalo sme zisťovali tiež z videa, rovnako pomocou Trackeru, interpoláciou na základe zmeranej výšky hornej hrany rúrky.
Najvýraznejšia chyba merania je podľa nás to, že sa lano popri tom, ako závažie padalo rôzne vlnilo, a keďže sme sa ho snažili pridržiavať, aby sa dotýkalo stále na rovnako veľkom úseku, mohli sme ho niekedy spomaľovať. Toto spomalenie bolo ale približne pri všetkých meraniach rovnaké, takže výslednú závislosť neovplyvní.
Ako druhú najväčšiu chybu merania by sme ale okrem toho, že že so snímkovacou frekvenciou 100 fps vedela naša kamera nahrávať len v rozlíšení 960p (ktoré je síce dostatočné, ale mohlo by byť lepšie), považoval to, že nie vždy sa nám podarilo pustiť lano naraz, ale to púšťanie niekedy mohlo byť postupné. Táto chyba síce nie je veľká, ale pri takto presne nameraných ostatných údajoch je výrazná.
Ďalšia vec, ktorá výrazným spôsobom ovplyvňovala presnosť merania bola, že ako sa lano trelo o brúsny papier, trhali sa jednotlivé vlákna lana, ktoré sa zachytávali do brúsneho papiera, a ovplyvňovali merania náhodným spôsobom podľa toho, koľko vlákien sa do brúsneho papiera zachytilo.
Diskusia
Tu môžte voľne diskutovať o riešení, deliť sa o svoje kusy kódu a podobne.
Pre pridávanie komentárov sa musíš prihlásiť.