3. Tour de Vígľaš vzorové riešenie

Predpokladajme, že sa Jaro na kopec teperí konštantnou rýchlosťou (a rovnako z kopca letí dole konštantne rýchlo). Jeho výkon ostáva po celý čas taktiež konštantný, teda platí \(P = F_1v_1 = F_2v_2\). Poznáme čas výstupu \(t_1\), čas zostupu \(t_2\) a celkovú prejdenú dráhu, ktorej polovice potom budú trasy prejdené po kopci nahor a nadol. Označme si ich \(s\).

Pri jeho jazde na Jara pôsobia 3 sily: tiažová sila \(F_g\), sila, ktorú vykonáva samotný Jaro \(F\) a odporová sila vzduchu \(F_o\). Odporová sila vzduchu je \(F_o=\frac{1}{2}CS\rho v^2=kv^2\), kde \(k\) je nejaká konštanta, ktorou sa budeme zaoberať neskôr.

Začnime s výstupom nahor. Výslednica síl bude \(F_1-F_g\sin(\alpha)-F_{o1}=ma_1\). Keďže ale Jaro udržiava konštantnú rýchlosť, jeho celkové zrýchlenie bude nulové, a teda \[ F_1 = F_{o1} + F_g\sin\alpha = kv_1^2 + mg\sin\alpha. \]

Silu \(F_1\) si vieme vyjadriť cez výkon, ako \(F_1=\frac{P}{v_1}\) a keďže ide o pohyb rovnomerný, rýchlosť \(v_1\) si vyjadríme ako \(v_1 = \frac{s}{t_1}\). Zostup nadol bude podobný. Výslednica síl bude \(F_2 + F_g\sin\alpha - F_{o2} = ma_1 = 0\), takže \[ F_2 = F_{o2} + F_g\sin\alpha = kv_2^2 - mg\sin\alpha, \] pričom \(F_2 = \frac{P}{v_2}\) a \(v_2 = \frac{s}{t_2}\). Po dosadení budeme riešiť sústavu dvoch rovníc \[ \begin{aligned} \frac{P}{\frac{s}{t_1}} &= k\left(\frac{s}{t_1}\right)^2 + mg\sin\alpha, \\ \frac{P}{\frac{s}{t_2}} &= k\left(\frac{s}{t_2}\right)^2 - mg\sin\alpha. \end{aligned} \] a zistíme, že sklon kopca bude \[ \alpha = \arcsin{\frac{k\left(v_2^3 - v_1^3\right)}{2mg}}. \]

Nastal čas povenovať sa konštante \(k = \frac{1}{2}CS\rho\). \(C\) je koeficient aerodynamického odporu. Keď si Jara na bicykli aproximujeme na kváder s rozmermi \(\SI{0.6}{\metre} \times \SI{1.6}{\metre} \times \SI{0.4}{\metre}\), tak \(C \approx \num{2.1}\). \(S\) je čelný prierez telesa, v našom prípade to bude \(S=\SI{0.24}{\metre\squared}\). \(\rho\) je hustota prostredia, pre vzduch izbovej teploty \(\rho\approx\SI{1,2}{\kilo\gram\per\metre\cubed}\). Nech má Jaro \(\SI{80}{\kilo\gram}\).

Po dosadení číselných hodnôt do vzorca dostávame \(\alpha \approx \ang{6.7}\).