Zadanie

Identické trojčatá Michal, Martin a Milan sa minulý rok vybrali do sveta na študijné pobyty. Na sociálnych sieťach sme našli ich najnovšie profilové fotografie, na ktorých

  • Michal leží v karnevalovej maske na pláži Copacabana a popíja caipirinhu,
  • Milan postáva s dáždnikom pod Big Benom a prší mu do šálky čaju,
  • Martin stojí pod Kremľom, na hlave má baranicu a v ruke drží poloprázdny stakan vodky.

Po pár týždňoch sa dohodli, že si vymenia tipy, ako najlepšie zapôsobiť na miestne slečny. I vytiahli svoje smartfóny, zapli najmodernejšiu šifrovanú telekonferenčnú aplikáciu1 a začali si vymienať skúsenosti. Počas videohovoru si náhodou všimli, že každý z nich vrhá rovnako dlhý tieň.

Aký je dátum a koľko je hodín? A aké dlhé sú ich tiene, ak sú všetci vysokí \(\SI{180}{\centi\metre}\)?

  1. určite viete, ktorú myslíme↩︎

Túto úlohu môžeme riešiť dvomi diametrálne odlišnými spôsobmi. Buď to skúsime analyticky spočítať, aj keď budeme musieť kvôli jednoduchosti spraviť zopár zanedbaní, inak to bude príliš náročné… alebo si pomôžeme dvomi ľahko dostupnými programami. Využijeme tak to, že najťažšie časti už niekto naprogramoval za nás a my sa môžeme sústrediť iba na podstatu úlohy.

Algoritmus by bol ale v oboch prípadoch rovnaký:

  • najprv budeme potrebovať určiť správnu polohu Slnka v sústave spojenej s otáčajúcou sa Zemou, aby popísaná situácia mohla nastať;
  • potom zistíme, kedy (a či vôbec) sa Slnko na takýchto súradniciach môže vyskytovať;
  • a ak áno, nakoniec spočítame dĺžku tieňov.

Súradnicové systémy

Najprv si povieme niečo o súradniciach na oblohe. Ak si myslíte, že sa v tom orientujete, môžete túto časť preskočiť.

Keďže obloha je (pol)sféra, na určovanie polôh sa používajú sférické súradnice. Rovnako ako pri kartézskych súradniciach aj tu potrebujeme na určenie polohy ľubovoľného bodu poznať počiatok súradnicovej sústavy a trojicu súradníc.

  • Prvou súradnicou je vzdialenosť. Tá sa však obvykle nedá na oblohe priamo merať a navyše nás v tejto úlohe ani nemá prečo zaujímať, pretože na výsledku nič nemení. Navyše vieme, že musí byť približne rovná jednej astronomickej jednotke. Necháme ju teda tak.
  • Druhou súradnicou je šírka, ktorá udáva uhol medzi priamkou spájajúcou objekt s počiatkom sústavy a nejakou zvolenou rovinou, ku ktorej budeme všetky šírky vzťahovať. Budeme ju nazývať referenčná rovina.
  • Treťou súradnicou je dĺžka, čo je pre zmenu uhol medzi priamkou spájajúcou priemet objektu do referenčnej roviny a nejakého zvoleného referenčného smeru v tejto rovine.

Možností, ako zvoliť referenčnú rovinu, je mnoho. Pri pozorovaní zo Zeme sa najprirodzenejší zdá topocentrický horizontálny systém, teda taký, kde počiatkom sústavy je naše oko, referenčnou rovinou je horizont a referenčným smerom sever. Šírku potom nazývame výška nad obzorom a dĺžku azimut.

Katalógy hviezd sa v tejto súradicovej sústave zostavujú veľmi zle, keďže sa otáča spolu so Zemou a navyše závisí od polohy pozorovateľa. Preto máme aj iné systémy, napríklad geocentrický ekvatoriálny. Jeho počiatok sa nachádza v strede Zeme a referenčnou rovinou je rovina rovníka. Ako počiatočný smer je tu určený tzv. jarný bod, teda miesto na hviezdnej oblohe, kde sa Slnko nachádza v okamihu jarnej rovnodennosti.

V tomto systéme sa hviezdy prakticky nehýbu1, a planéty a Slnko iba pomaličky. Slnko v tejto sústave vykoná práve jeden obeh za rok – pri pohľade zo Zeme, ktorá okolo neho obieha, sa premieta vždy na inú časť oblohy. Súradnice sa tu nazývajú deklinácia a rektascenzia a značia sa \(\delta\) a \(\alpha\).

Pre naše účely má tento systém veľkú výhodu: objekt s deklináciou \(\delta\) bude vždy presne nad miestom, ktorého zemepisná šírka je tiež \(\delta\). V úlohe nás teda bude zaujímať deklinácia Slnka. Rektascenzia Slnka zase bude závisieť iba od dátumu a času.

Určenie polohy Slnka

Chceme zistiť, kde musí byť na oblohe Slnko, aby táto situácia mohla nastať. Polohu Slnka vzhľadom na Zem môžeme popísať pomocou zemepisných súradníc subsolárneho bodu, teda miesta, ktoré sa pri pohľade zo Slnka nachádza presne v strede zemského disku. Samozrejme, na tomto mieste sa bude Slnko nachádzať v zenite. Ak všetci traja vrhajú rovnako dlhé tiene, musia vidieť Slnko na oblohe v rovnakej výške.

Potrebujeme teda nájsť bod na Zemi, ktorý je od všetkých troch miest rovnako ďaleko, alebo inak povedané, stred opísaného trojuholníka. Našťastie je táto úloha na guli riešiteľná prakticky rovnako, ako na rovine. Ak je hľadaný bod rovnako ďaleko od všetkých troch, je rovnako ďaleko od každej dvojice. Nakreslíme si teda osi ľubovoľných dvoch strán a nájdeme ich priesečník.

Ako? Veľmi jednoducho. Google Earth Pro má funkciu kreslenia kružnice s určeným stredom a polomerom. Najprv nájdeme os úsečky spájajúcej jednu dvojicu miest, napríklad Londýn a Moskvu. Nakreslíme kružnicu so stredom v jednom z miest a polomerom rovným ich vzdialenosti – na presnej hodnote nezáleží, ale toto je najjednoduchšie. Rovnakú kružnicu nakreslíme aj so stredom v druhom meste. Kružnice sa pretnú neďaleko Špicbergov a pri Kréte. Oba priesečníky spojíme rovnou čiarou a zapamätáme si jej azimut, čo je približne \(\ang{155.9}\). Potom čiaru predĺžime tak, aby siahala až do Antarktídy, pričom sledujeme, aby sme azimut zachovali. Výsledok si môžete pozrieť aj v tomto súbore2.

To isté zopakujeme s inou dvojicou, napríklad Londýn a Rio de Janeiro. Dostaneme priesečníky pri Kalifornskom polostrove a druhý na Madagaskare (v súbore modrou). Pre priesečník takto získaných dvoch osí platí, že sa nachádza v rovnakej vzdialenosti od všetkých troch miest. To môžeme overiť tak, že z tohoto bodu nakreslíme novú kružnicu (zelená), ktorá by mala prechádzať všetkými tromi mestami. Ak bude Zem natočená práve tak, že v tomto bode má pozorovateľ Slnko nad hlavou, v Riu, Moskve a Londýne bude rovnako vysoko nad obzorom. Jeho súradnice sú približne \(\ang{12.35}\) južnej zemepisnej šírky a \(\ang{28.60}\) východnej zemepisnej dĺžky a nachádza sa vo výbežku Konga v Afrike. Označme tento bod \(C\).

Určenie času

Ako prvé by nám malo napadnúť, či je vôbec možné, aby sa Slnko mohlo na týchto súradniciach nachádzať v zenite. Odpoveďou je, že áno: sklon zemskej osi je \(\ang{23.5}\). Počas slnovratov dosiahne deklinácia Slnka túto zemepisnú šírku, v decembri južnú a v júni severnú. Keďže Slnko sa po oblohe pohybuje spojito, niekedy musí dosiahnuť aj hodnotu \(\ang{-12.35}\). Pravda, môže sa tak stať na inom poludníku. Pomer dĺžky dňa a roka je však na Zemi veľmi malý a výška Slnka na poludnie sa deň po dni mení iba veľmi pomaly, takže subsolárny bod určite prejde veľmi blízko.

Hľadáme teda časový okamih, kedy je deklinácia slnka rovná zemepisnej šírke bodu \(C\) (\(\delta_\odot = \theta_C\)), a navyše v tomto mieste musí byť pravé poludnie. Ešte by sme si mali uvedomiť, že počas roka budú také dni určite dva: jeden niekedy medzi septembrovou rovnodennosťou a decembrovým slnovratom, a druhý medzi decembrovým slnovratom a marcovou rovnodennosťou.

Z rovníc pohybu Slnka by to šlo vypočítať, dokonca by to ani nebolo príliš zložité. Radšej si ale zapneme nejaký chytrý program, napríklad Stellarium, a nastavíme svoju polohu na súradnice bodu \(C\). Teraz nám ostáva vyhľadať, kedy bude Slnko presne v zenite. Výhodou tejto metódy je aj to, že program za nás započíta všetky ďalšie efekty, ktoré by sme analyticky rátali len ťažko.3

Po chvíľke hrania by sme mali zistiť, že v tomto roku želaná konštelácia prvýkrát nastala 16. februára o 10:20 UTC a druhýkrát nastane 26. októbra o 09:46 UTC.4 V Moskve je vtedy tesne po poludní, je však skorá jar (alebo neskorá jeseň) a sme ďaleko na severe, takže bude nízko nad obzorom. Londýn je trochu južnejšie, takže Slnko je vyššie, ale zato je ešte iba skoré dopoludnie. V Riu de Janeiro je naopak skorá jeseň (alebo neskorá jar), je však iba skoro ráno a Slnko ešte nestihlo vyjsť veľmi vysoko.

Dĺžka tieňa

Keď poznáme polohu Slnka, určiť dĺžku tieňa je už jednoduché: stačí nám zistiť vzdialenosť Slnka od zenitu v mieste, kde stojí ľubovoľný z chlapcov. Označme ju \(\gamma\). Z jednoduchej geometrickej predstavy vieme, že dĺžka tieňa potom musí byť \(T = h \cot \gamma\). Tento uhol sa síce meria dosť zle, vieme si však opäť pomôcť s Google Earth: keďže Zem je približne guľatá, pre vzdialenosť mesta od subsolárneho bodu \(L\) musí platiť \[ L = \gamma R_\oplus, \]

takže \[ \gamma = \frac{R_\oplus}{L}. \]

Ľahko odmeriame, že \(L = \SI{7600}{\kilo\metre}\) a dosadením získame hodnotu \(\gamma \doteq \ang{21.7}\). Takže všetci traja donjuani vidia Slnko v rovnakej výške zhruba a dĺžka ich tieňov bude \(T = \cot{\ang{21.7}} \cdot \SI{180}{\centi\metre} \doteq \SI{452}{\centi\metre}\).

  1. Samozrejme, nie je to úplne pravda. Kvôli precesii zemskej osi sa celý súradnicový systém otáča s periódou asi 26000 rokov, a ani hviezdy v skutočnosti nie sú nehybné. Pre naše účely ho ale môžeme považovať za stacionárny.↩︎

  2. Treba použiť program, ktorý používa guľatú Zem. Na plochej mape to projekcia pokazí, pretože úsečky sú definované iba koncovými bodmi.↩︎

  3. Jedným takým efektom je analema. Predstavte si, že by ste každý deň o rovnakom čase odfotili oblohu a fotografie z celého roka naskladali za seba. Videli by ste, že Slnko po oblohe opisuje krivku v tvare čísla 8. Je to tým, že rotačná rýchlosť Zeme je takmer dokonale rovnomerná, ale obežná rýchlosť Zeme sa počas roka mení, keďže okolo Slnka neobiehame po kružnici, ale po elipse. Výsledný efekt je taký, že poludnie nenastáva vždy v rovnaký čas, ale sa trošku posúva. Pre viac informácií pozrite napríklad https://en.wikipedia.org/wiki/Analemma, alebo v Stellariu podržte ‘=’ a pozerajte na polohu Slnka.↩︎

  4. Vidíte, že tie časy nie sú rovnaké – práve kvôli spomínanej analeme.↩︎

Diskusia

Tu môžte voľne diskutovať o riešení, deliť sa o svoje kusy kódu a podobne.

Pre pridávanie komentárov sa musíš prihlásiť.