Zadanie
Spomínate si na plochozemca, piráta Francisa, z minulého kola? Tentokrát sa rozhodol, že všetkým „guľatým“ zavrie ústa a zaplatil si let do vesmíru, aby raz a navždy dokázal, že Zem je placka. Maminka mu nabalila jeho obľúbený bazový sirup uzatvorený v dokonale tuhej, po okraj naplnenej sklenenej fľaši a Francis sa mohol vydať na cestu. To, čo na nej uvidel, ho rozosmutnilo. Už krátko po štarte sa mu Zem začala zaobľovať, až sa z nej nakoniec stala guľa. Francis sa na ňu nemohol viac pozerať. Povedal si, že si aspoň napraví chuť bazovým sirupom od mamičky. Tu jeho pozornosť upútali dve malé bublinky polomeru \(r\), ktoré sa voľne vznášali v inak plnej fľaši sirupu. Po chvíli sa bublinky spojili do jedinej, väčšej. O koľko sa zmenil tlak v sirupe? Predpokladajte, že teplota vzduchu v bublinách pred a po spojení je rovnaká. Povrchové napätie sirupu je \(\sigma\).
V prvom rade sa treba zamyslieť, aké informácie nám ponúka zadanie. Vieme, že Francisova fľaša je dokonale tuhá, a teda sa objem jej obsahu nemôže zmeniť. Kvapaliny sú v ideálnom svete fyzikálnych úloh tiež nestlačiteľné, čo znamená že objem sirupu sa tiež nemôže zmeniť. Z toho vyplýva, že ani objem vzduchu sa nemôže zmeniť. Počiatočné dve bublinky majú spolu rovnaký objem ako bublinka, ktorá vznikla ich spojením. V reči rovníc \[ 2 V_1 = V_2, \] \[ 2 \frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{4}{3} \pi R^3. \] Polomer novej bublinky bude teda \(R=\sqrt[3]{2}r\).
Vzduch v bublinkách sa správa ako ideálny plyn a jeho správanie sa dá popísať stavovou rovnicou. Pre jednu malú bublinku platí \(p_1 V_1=n_1RT_1\) a pre veľkú bublinku po spojení zas \(p_2 V_2=n_2RT_2\). Zo zadania vieme, že počas spojenia dvoch bubliniek sa teplota nemení a teda \(T_1=T_2=T\). Tiež sme zistili, že \(V_2=2V_1\). To, že množstvo vzduchu vo veľkej bublinke je dvakrát také ako v malej možno zapísať ako \(n_2=2n_1\). Naše dve stavové rovnice potom môžeme prepísať: \[ \begin{aligned} \frac{p_1V_1}{n_1}=\frac{p_2V_2}{n_2} &= RT,\\ \frac{p_1V_1}{n_1}=\frac{p_2 2V_1}{2n_1} &= RT. \end{aligned} \]
Z toho vychádza, že \(p_1 = p_2\). K tomuto zisteniu sa dalo prísť aj úvahou, že pre vzduch z jednej malej bublinky sa počas spojenia nezmenil ani objem, ani teplota, a teda sa nemohol zmeniť ani tlak. Veľa z vás tvrdilo, že ak tlak v jednej malej bublinke je \(p\) tak v dvoch to bude \(2p\). Toto je ale nesprávne! Tlak je stavová veličina a to znamená, že ak mám dve rovnaké bublinky so vzduchom v rovnakom stave, tak budú mať rovnaký tlak.
Ako to funguje s tlakom pri bublinkách? Tlak v bublinkách je väčší ako tlak, ktorý na bublinku tlačí zvonka. Je to preto, lebo vrstva kvapaliny drží spolu medzimolekulovými silami a bráni vzduchu vnútri bublinky sa ďalej rozpínať. 1. Túto schopnosť kvapalín popisuje práve povrchové napätie \(\sigma\). Rozdiel medzi vnútorným a vonkajším tlakom pri bublinke plynu v kvapaline popisuje rovnica: \[ p_{\mathrm{in}}-p_{\mathrm{out}}=\frac{2\sigma}{r}, \] kde \(p_{\mathrm{in}}\) je tlak v bublinke a \(p_{\mathrm{out}}\) je tlak zvonku bublinky, čo je v tomto prípade tlak v sirupe, kedže práve ten bublinku obklopuje. Viacero z vás tam malo miesto dvojky štvorku, čo ale platí pre bublinky, kde sú dve rozhrania, ako napríklad bublifuková bublina2.
Napíšme si túto rovnicu pre situáciu pred a po spojení. Zistili sme, že \(p_1=p_2=p_{in}\) a že \(R=\sqrt[3]{2}r\). Situácia pred spojením je teda \[ p_{\mathrm{in}}-p_{\mathrm{out1}}=\frac{2\sigma}{r} \] a po spojení \[ p_{\mathrm{in}}-p_{\mathrm{out2}}=\frac{2\sigma}{\sqrt[3]{2}r}. \]
Nás zaujíma ako sa zmenil tlak v sirupe po spojení bubliniek a teda nový tlak mínus starý tlak \(\Delta p = p_{out2}-p_{out1}\). Tieto tlaky možno vyjadriť z predchádzajúcich rovníc a odčítať \[ \Delta p = p_{\mathrm{out2}}-p_{\mathrm{out1}} = p_{\mathrm{in}} - \frac{2\sigma}{\sqrt[3]{2}r} - \left(p_{\mathrm{in}}-\frac{2\sigma}{r}\right) \]
Po krátkych úpravách prídeme k výsledku a tešíme sa :) \[ \Delta p =\frac{2\sigma}{r}-\frac{2\sigma}{\sqrt[3]{2}r}=\frac{2\sigma}{r}\left(1-\frac{1}{\sqrt[3]{2}}\right)\approx \num{0.413} \frac{\sigma}{r} \] Tlak v sirupe sa teda zvýšil o túto hodnotu.
Diskusia
Tu môžte voľne diskutovať o riešení, deliť sa o svoje kusy kódu a podobne.
Pre pridávanie komentárov sa musíš prihlásiť.