7. Plochozemský pirátis vzorové riešenie

Ako ste si asi všimli, táto úloha nie je náročná výpočtovo, ale konceptuálne. Poďme teda zodpovedať kľúčové otázky: Prečo Francis vníma iný ako skutočný polomer kružnice \(\rho\), po ktorej pláva, a aký je vzťah medzi skutočným a reálnym polomerom?

Francis je plochozemec, čo znamená, že pre neho je svet vždy lokálne rovinou. Človek 21. storočia (vynímajúc členov Flat Earth Society) znalý takmer dokonalej sférickosti Zeme si Francisovo vnímanie plochosti sveta môže predstaviť ako rovinu dotýkajúcu sa Zeme práve v bode \(F\), v ktorom sa Francis nachádza. Pozri obrázok.

[@P]{ZemVsPlochozem}{pdf}{png}{45mm}{Zem a zdanlivá plochozem z pohľadu vonkajšieho pozorovateľa}{}

Toto zamyslenie nám už veľa napovedá o tom, ako Francis meria polomer zdanlivej kružnice, po ktorej pláva. Jednak vieme, že stred zdanlivej kružnice \(K\) bude určite ležať na zdanlivej Francisovej rovine. (Konkrétne na priesečníku všetkých dotykových rovín k Zemi pozdĺž celej kružnicovej trajektórie). Dvak je to konzistentné aj s tým ako mohol Francis merať krivosť. Ak si vedel skonštruovať akcelerometer, pohyb po kružnici by sa prejavil na nenulovosti nameraného zrýchlenia. V smere kolmom na zdanlivú rovinu, t. j. v smere spojnice stredu Zeme \(S\) a bodu \(F\) by sa odstredivé zrýchlenie prejavilo iba ako malá korekcia \(g\), a ako plochozemec by to to určite odingnoroval. No v smere dotyčnicovom by nameral zrýchlenie \(a\), ktoré by interpretoval ako \(\frac{v^2}{r}\), z čoho by už jednoducho určil \(r\). Zrýchlenie \(a\) však nie je nič iné ako dotyčnicová zložka odstredivého zrýchlenia veľkosti \(\frac{v^2}{\rho}\). Keď si teraz zanalyzujeme trojuholníky \(FKS\) a \(RKF\), a ich uhly na obrázku, dostaneme medzi spomínanými zrýchleniami vzťah \[ \frac{v^2}{r} = \frac{R}{\sqrt{R^2 + r^2}} \frac{v^2}{\rho}, \] z čoho vidno, že \[ \rho = \frac{Rr}{\sqrt{R^2 + r^2}}. \]

Druhý spôsob, ktorým mohol Francis merať polomer \(r\), je z lokálnej krivosti. Inak povedané, ak by mal Francis na stranách lode kolieska, ktoré sa voľne otáčajú, polomer krivosti určí z rozdielu ich otáčok. Pri otočení o uhol \(\phi\), čo nie je nič iné ako pomer odplávanej dráhy \(s\) a polomeru \(r\), by pozoroval, že koliesko bližšie k stredu kružnice prejde dráhu \(\left(r-\frac{h}{2}\right)\phi\) a koliesko ďalej zas \(\left(r+\frac{h}{2}\right)\phi\), kde \(h\) je šírka lode. Ak takto nameria polomer \(r\) na viacerých miestach svojej plavby, tak si potvrdí, že sa naozaj pohybuje po kružnici a tým sa potvrdzuje aj to, že bod \(K\) sa naozaj nachádza na priesečníku všetkých dotykových rovín k Zemi pozdĺž celej kružnicovej trajektórie. S týmto poznatkom vieme určiť polomer \(\rho\) aj geometricky. Pozrime sa na trojuholník \(FKS\) a jeho obsah. Keďže je pravouhlý, možno obsah vypočítať pomocou odvesien \(r\) a \(R\), ako aj pomocou prepony \(\sqrt{R^2 + r^2}\) a výšky \(\rho\) kolmej na ňu. Teda \[ \frac{1}{2} Rr = \frac{1}{2} \sqrt{R^2 + r^2} \rho, \] čo je v zhode s predchádzajúcim výsledkom \(\rho = \frac{Rr}{\sqrt{R^2 + r^2}}\).

To, že je tento výsledok naozaj dobrý, možno ľahko overiť na dvoch okrajových prípadoch. Ak \(r \to 0\), možno vyňatím \(R\) z menovateľa upraviť výsledok do tvaru \(\rho = \frac{r}{\sqrt{1+\frac{r^2}{R^2}}} \to r\), keďže \(\frac{r^2}{R^2} \ll 1\). Ako vidíme, v tejto limite je skutočný polomer \(\rho\) zhruba \(r\), inak povedané, pre malé kružnice je Zem naozaj lokálne plochá. Pre \(r \to \infty\) by sme mali očakávať, že Francis ide po tom, čo považuje za priamku a teda sa pohybuje po najväčšej možnej kružnici, teda po tej s polomerom \(\rho = R\). A naozaj, ak vo výsledku vyjmeme pre zmenu z menovateľa \(r\), dostaneme \(\rho = \frac{R}{\sqrt{\frac{R^2}{r^2}+1}} \to R\), keďže \(\frac{R^2}{r^2} \ll 1\).