6. Plackozem vzorové riešenie

Po prečítaní zadania isto šípite, že na vyriešenie tejto úlohy bude postačujúce vedieť, ako žiari dokonale čierne teleso. Tak sa rovno do toho pusťme.

Celkový žiarivý výkon dokonale čierneho telesa plochy \(S\) a teploty \(T\) vyjadruje Stefan-Boltzmannov zákon. Platí \[ P = \sigma T^{\,4} S, \] kde \(\sigma\) je Stefan-Boltzmannova konštanta. Z toho je teda jasné, že žiarivý výkon Plackoslnka, ktorý zodpovedá množstvu energie vyžiarenej smerom k Plackozemi je \(P_\odot = \sigma T^4_\odot \pi R^2_\odot\).

Druhý poznatok, ktorý musíme využiť je, že intenzita žiarenia dopadajúceho na plochu \(\Delta S\), ktorá je k nemu kolmá, klesá s uhlom \(\theta\), pod ktorým bolo žiarenie vyžiarené z plochy zdroja \(S\).¹ Inak povedané, musíme vedieť, čo je to lambertovský rozptyl.² V jazyku matematiky \[ I = \frac{P}{\Delta S} = \sigma T^{\,4} S \frac{\cos{\theta}}{\pi l^2}, \] pričom \(l\) je vzdialenosť plochy zdroja a plochy, na ktorú dopadá žiarenie.

Teraz by ste sa mohli spýtať: „Prečo to vlastne platí?“ Ľahká odpoveď by bola: „Lebo to tak vyšlo.“ Tá ťažká sa skladá z niekoľkých malých odpovedí. Jednak uvažujme, že plocha žiariča \(S\) je malá, takže nech sa plocha \(\Delta S\) nachádza kdekoľvek, bude uhlový rozmer žiariča rovnaký. (To je aj náš prípad, lebo \(R_\odot \ll h\).) Intenzita žiarenia čierneho telesa klesá s odklonom od kolmice k ploche žiariče ako \(\cos{\theta}\) a taktiež klesá prirodzene so vzdialenosťou ako \(l^{-2}\). Ako ako posledné musíme žiadať, aby sa vyžiarený výkon nikde nestrácal, čiže ak by sme obalili zdroj nejakou plochou, tá musí všetok výkon zachytiť. Ak sa teraz spýtame, aký výkon prijme kolmá plocha \(\Delta S\) vo vzdialeností \(l\) pod uhlom \(\phi\) od zdroja, určite musí platiť \[ P_{\Delta S} \propto P \frac{\cos{\theta}}{l^2} = \sigma T^{\,4} S \frac{\cos{\theta}}{l^2}. \]

To je takmer výsledok, ktorý sme uviedli. Konštanta \(\pi\) sa v menovateli nachádza kvôli požiadavke zachovania vyžiareného a prijatého výkonu.³

[@P]{plackovesmir}{pdf}{png}{45mm}{Plackoslnko žiariace na plochu \(\Delta S'\) na Plackozemi pod uhlom \(\theta\).}{}

Po dlhšom úvode sa vráťme späť k nášmu problému. Máme zistiť, ako bude vyzerať teplota na každom mieste Plackozeme. Je očividné, že náš problém má cylindrickú symetriu a najvyššiu teplotu bude mať bod priamo pod Plackoslnkom. To znamená, že chceme nájsť funkciu \(T(R)\), kde \(R\) je vzdialenosť od najteplejšieho bodu na Plackozemi. Zamerajme sa teraz na plochu \(\Delta S'\) vo vzdialenosti \(R\) od najteplejšieho bodu a pod uhlom \(\theta\) od Plackoslnka. Pre uhol \(\theta\) samozrejme platí \(\cos{\theta} = \frac{h}{\sqrt{R^2 + h^2}}\). Podľa vyššie uvedeného, na plochu \(\Delta S'\) dopadá žiarenie s výkonom \[ P_{in} = P_\odot \frac{\Delta S \cos{\theta}}{\pi \left( R^2 + h^2\right)} = \sigma T^{\,4}_\odot R^2_\odot \frac{\Delta S' h^2}{\left( R^2 + h^2\right)^2}, \] kde \(\Delta S = \Delta S'\cos{\theta}\) je plocha kolmá na dopadajúce žiarenie, efektívne zodpovedajúca ploche \(\Delta S'\) na Plackozemi.

Plocha \(\Delta S'\) nie len energiu prijíma, ale aj vyžaruje. Keďže aj Plackozem považujeme za čierne teleso, triviálne platí \[ P_{out} = \sigma T^{\,4} \Delta S'. \]

Vieme, že teplota je na Plackozemi ustálená a teda musí platiť \(P_{\mathrm{in}} = P_{\mathrm{out}}\). Porovnaním oboch výrazov dostaneme \[ T^{\,4} = \frac{R^2_\odot h^2}{\left( R^2 + h^2 \right)^2} T^{\,4}_\odot, \] a teda \[ T = \sqrt{\frac{R_\odot h}{R^2 + h^2}}T_\odot = \sqrt{\frac{R_\odot}{h} \cos \theta}\ T_\odot. \]

Tak a to je všetko. Teraz môžete dosadiť konkrétne hodnoty a skúste nájsť interval vzdialeností \(R\), na ktorých by sme dokázali žiť. A môžete sa zamyslieť aj nad tým, čo by muselo pribudnúť, aby sa na takej Plackozemi striedal deň s nocou.