7. Valec, valec, ide sa na vec! vzorové riešenie

Vyriešme najprv podúlohu “na zemi sa objaví valec s počiatočnou uhlovou rýchlosťou \(\omega_0\) a počiatočnou translačnou rýchlosťou \(v_0\), aká bude jeho rýchlosť po ustálení?” Pokiaľ sú plochy valca a zeme vo vzájomnom pohybe, bude medzi nimi existovať trecia sila konštantnej veľkosti. Podľa pravidiel pohybu tuhého telesa táto sila bude nezávisle spôsobovať translačné zrýchlenie valčeka, a jej moment bude spôsobovať uhlové zrýchlenie valčeka. Tak dostávame rovnice \[ v(t)=v_0-\frac{F}{m}t=v_0-gdt, \] \[ \omega(t)=\omega_0+\frac{\tau}{I}t=\omega_0+\frac{mgdr}{I}t=\omega_0+\frac{2gd}{r}t. \]

Trecia sila prestane pôsobiť keď styčné plochy prestanú byť vo vzájomnom pohybe, teda keď \[ \begin{aligned} v &= \omega r, \\ v_0-gdt &= \omega_0r+2gdt, \\ t &= \frac{v_0-\omega_0r}{3gd}. \end{aligned} \]

Keď tento čas spätne dosadíme do rovnice pre \(v(t)\), zistíme rýchlosť po ustálení \[ v_{\mathrm{fin}}=\frac{2}{3}v_0+\frac{\omega_0r}{3}. \qquad(1)\] To je polovica riešenia za nami! Ale tá jednoduchšia polovica. Teraz treba vymyslieť, čo sa s valčekom udeje pri dopade.

Prvotná myšlienka človeka môže byť, že valček jednoducho príde o svoju vertikálnu zložku translačnej rýchlosti, a nič viac sa nestane. To ale zrejme nebude pravda.¹ Treba si uvedomiť, že počas nárazu na valček pôsobí na kratučký okamih väčšia normálová sila, a táto veľká normálová sila spôsobí na kratučký okamih aj väčšie trenie. Ako zistíme, čo urobí toto trenie s valčekom? Sila pri dopade má neznámy priebeh a pôsobí infinitezimálne krátky čas. Preto je zrejmé, že bude vhodné použiť nejaký zákon zachovania. Ktorý? Dnes sa rozhodneme pre zákon zachovania hybnosti, teda presnejšie jeho zovšeobecnenú podobu, ktorá hovorí, že zmena hybnosti izolovaného telesa je krytá pôsobiacimi vonkajšími silami.² Normálová sila pri dopade udelí zmenu hybnosti \(mv_{\mathrm{dopad}}\). Ak predpokladáme, že trecia sila je \(d\) krát normálová, potom trecia sila udelí zmenu hybnosti \(dmv_{\mathrm{dopad}}\) a moment trecej sily udelí zmenu momentu hybnosti \(rdmv_{\mathrm{dopad}}\), kde \(v_{\mathrm{dopad}}\) je samozrejme \(\sqrt{2gh}\). To znamená, že valček počas okamihu dopadu získa translačnú rýchlosť \[ dv_{\mathrm{dopad}}, \] a stratí uhlovú rýchlosť \[ \frac{drmv_{\mathrm{dopad}}}{I}=\frac{2dv_{\mathrm{dopad}}}{r}. \]

Ak tieto údaje dosadíme do rovnice 1 nájdenej predtým, teda za \(v_0 \rightarrow dv_{\mathrm{dopad}}\) a za \(\omega_0 \rightarrow \omega_0-\frac{2dv_{\mathrm{dopad}}}{r}\) tak dostaneme \[ v_{fin}=\frac{2}{3}dv_{\mathrm{dopad}}+\frac{\omega_0r}{3}-\frac{2dv_{\mathrm{dopad}}}{3}=\frac{\omega_0r}{3}. \]

To je ale šokujúci výsledok! Výsledná rýchlosť valčeka nezávisí od výšky z akej dopadne, a teda ani od vertikálnej rýchlosti pri dopade. To znamená, že ak by sme na vertikálnu zložku rýchlosti zabudli, výsledok je taký istý, ako keď valček jednoducho položíme na zem! Je to preto, lebo pri dopade z väčšej výšky sa kvôli väčšiemu treniu viac z uhlovej rýchlosti zmení na translačnú rýchlosť, ale tento efekt sa v rovnici 1 vyruší. A už teda nezostáva nič iné, len užívať si krásu fyziky :)