6. Magnetické peripetie vzorové riešenie

Zadanie

Adam a Simon prišli s vlastnými modelmi toho, ako fungujú magnety na chladničke. Samozrejme, ich modely sú odlišné. Adama v škole naučili, že aj vodiče s prúdom, a medzi inými aj kruhové slučky, okolo seba vytvárajú magnetické pole. Permanentný magnet na chladničke si predstavuje tak, ako keby po jeho povrchu tiekol prúd a vytváral tým malú prúdovú slučku.

Naopak Simon sa inšpiroval elektrostatikou. Veď v nej sa veci tiež vedia priťahovať! Permanentný magnet si teda predstavuje ako dvojicu magnetických nábojov¹ vzdialených veľmi blízko, no nie zanedbateľne, pri sebe.

Na to, aby ich fundamentálnu dišputu v ponímaní sveta rozhodli, urobili nasledovný experiment. Rozhodli sa zistiť, kedy bude mať dvojica permanentných magnetov nachádzajúcich sa tesne pri sebe menšiu energiu: v prípade, keď budú rovnaké póly vedľa seba, alebo v prípade, keď budú vedľa seba póly s rôznou polaritou. Nezabudnite túto úlohu vyriešiť pre Adamov aj Simonov prípad!

Táto úloha nevyžaduje žiadne výpočty a dá sa vyriešiť myšlienkovými úvahami.

---

1. Simon a aj my vieme, že magnetické náboje (monopóly) neexistujú, napriek tomu môže stále takýto pohľad fungovať, ak pomocou nich opisujeme objekty, ktoré majú oba póly (náboje s opačnou polaritou).↩

Adamov model

Najskôr vyriešime, čo predpovedá Adamov model, ktorý modeluje magnet ako valec s plošným prúdom na povrchu. Na začiatok budeme uvažovať, že takýto plošný prúd je ekvivalentný jednej prúdovej slučke. Prúdová slučka vygeneruje magnetické pole v jej okolí, ktoré vyzerá tak ako na obrázku ¿fig:slucka-pole?. Nás zaujíma, že ktorá z dvoch možných konfigurácií dvoch takýchto prúdových slučiek bude mať nižšiu potenciálnu energiu.

Priamo spočítať, alebo aspoň kvalitatívne určiť potenciálnu energiu sústavy prúdov vôbec nie je jednoduché, a tak bude lepšie sa uchýliť ku inému spôsobu. Začneme s faktom, že ak na prúdovú slučku pôsobí moment sily, tak to znamená, že pri malom otočení v rovnakom smere by potenciálna energia slučky poklesla.¹ V prípade našej slučky sa to dá pozorovať vtedy, keď slučku budeme otáčať tak ako na obrázku ¿fig:1?. Na prúdy pôsobí totiž sila \(\vec{F} / L = \vec{I} \times \vec{B}\). Smery týchto síl na slučku sú znázornené na rovnakom obrázku. Je vidieť, že sily otáčajú slučku tak, akokeby nižšia potenciálna energia bola v prípade, keď sú slučky otočené nesúhlasne.

Znamená to však skutočne, že opačná orientácia musí mať nižšiu energiu? Nie, lebo sme neukázali, že moment sily bude slučku otáčať po celý čas tým istým smerom. Jediné, čo sme ukázali je, že súhlasná poloha je nestabilná (teda lokálne maximum energie) a nesúhlasná poloha je stabilná (lokálne minimum energie). Na to, aby toto platilo by sme museli niečo vedieť o poli generovanom prvou slučkou, ktoré je mimo plochy symetrie. Tvar tohto poľa je však netriviálny, lebo vieme, že dve slučky sú tesne pri sebe. Vyzerá to, že ani tadeto cesta nevedie.

Naštastie však nie sme úplne v koncoch – trik spočíva v tom, že slučku v takomto nehomogénnom poli vieme nahradiť superpozíciou nekonečného počtu nekonečne malých slučiek (minislučiek), ktoré celkovo vyskladajú prúd veľkej slučky tak, ako na obrázku ¿fig:superpozicia-sluciek?. Je vidieť že susedné slučky majú na spoločnej strane opačne orientované prúdy, ktoré sa tým navzájom anulujú – preto vo výsledku je prúd v strede slučky nulový tak ako by mal byť. Zároveň slučky na okraji nemá čo anulovať a výsledkom je teda požadovaný prúd po okraji.

Každá z týchto minislučiek je tak malá, že magnetické pole v jej okolí je prakticky konštantné, a preto náš argument platí pre ľubovoľné natočenie takejto minislučky; moment sily vždy otočí minislučku tak, že je orientovaná opačne ku druhému magnetu. Tým pádom po celú dobu tohto otáčania potenciálna energia minislučky klesá a menšiu energiu má naozaj stav, keď je minislučka orientovaná opačne. Keďže toto platí pre každú minislučku, rovnako to bude aj pre skutočnú veľkú slučku, a tým môžme povedať, že dve Adamove slučky budú mať nižšiu energiu, keď budú orientované opačne.

Zostáva nám sa len zamyslieť, či sa výsledok zmení, ak budeme magnety brať ako valce s povrchovým prúdom namiesto prúdových slučiek. V prvom rade sa nám trochu zmení pole tvorené prvým magnetom – skôr bude pripomínať pole tvorené cievkou v tvare solenoidu.² V takomto poli budeme mať druhý takýto solenoidný magnet, ktorý si však vieme predstaviť ako superpozíciu viacerých postupne poposúvaných slučiek, ktoré sme už vyriešili. Keďže v priestore, kde sa nachádza druhý magnet má magnetické rovnaký smer ako v prípade dvoch slučiek, pre každú slučku sa viac oplatí byť opačne. Tým pádom sa nám výsledok nezmení.

Simonov model

Magnetické monopóly znejú síce veľmi exoticky, no princíp je podobný ako pri obyčajných (elektrických) nábojoch: dva súhlasné magnetické náboje sa odpudzujú a dva nesúhlasné priťahujú. Zároveň platí aj “Coloumbov zákon pre magnetické monopóly”, ktorý vraví, že sila medzi dvomi magnetickými monopólmi je nepriamo úmerná druhej mocnine ich vzájomnej vzdialenosti. Vďaka týmto dvom faktom, analogicky ku potenciálnej energii dvoch elektrických nábojov, vieme napísať potenciálnu energiu dvoch monopólov ako:

\[ U = C \frac{q_{m1} q_{m2}}{r}, \] kde \(C\) je nejaká kladná konštanta a \(q_{m1}\) a \(q_{m2}\) sú magnetické náboje dvoch magnetických monopólov. ³

Teraz nám už zostáva len určiť energie dvoch sústav. Označme vzdialenosť dvoch magnetov ako \(R\) a vzdialenosť dvoch monopólov na uhlopriečku \(L\). Samozrejme, \(L > R\), a teda aj \(1/L < 1/R\). Tento fakt sa nám bude hodiť o chvíľku. V prípade, že sú magnety orientované rovnakým smerom bude celková energia:

\[ U_\text{rovnako} = C q_m^2 \left(\frac{2}{R} - \frac{2}{L}\right). \]

Pri druhej konfigurácii to bude:

\[ U_\text{opačne} = C q_m^2 \left(\frac{2}{L} - \frac{2}{R}\right). \]

Teraz si spomenieme, že \(1/L < 1/R\), a teda rovno vieme povedať, že:

Z toho vidíme, že podľa Simonovho modelu budú mať magnety nižšiu energiu, ak budú opačne.