3. Špagetka vytáča vzorové riešenie

Zadanie

Špagetka začala najnovšie cvičiť hula hop. Aby jej jej obruč doma nezavadzala, navŕtala do nej malú dierku a zavesila ju na klinec. Špagetka má však onakvejší vkus. Nepáčilo sa jej, že obruč si tam len tak visí. Rozhodla sa teda obruč vychýliť z rovnovážnej polohy ako na obrázku.

No a aby obruč v tejto vytočenej polohe držala, zobrala druhý klinček, aby ju ním zafixovala. Nechcela však do nej robiť ďalšiu dierku, preto klinček nabila do steny pod ňu a obruč oň oprela. Bála sa však, že to klinček v stene pod náporom obruče nevydrží – veď predsa tá má nemalú hmotnosť \(m\) – preto starostlivo našla bod, v ktorom je klinček najmenej namáhaný. Nájdete ho aj vy?

Keď už Špagetka toľko vymýšľa, našou úlohou je zistiť, kde máme klinček pod obruč pribiť tak, aby bola obruč stabilizovaná a klinček čo najmenej zaťažený. Vyznačme si teda s nadšením na obrázku sily pôsobiace na obruč a na klinček:

Na určenie optimálnej polohy klinčeka budeme hľadať nejaký uhol \(\alpha\), ktorý bude klinček zvierať s vodorovnou osou obruče prechádzajúcej jej osou otáčania. Ako vidíme z obrázka, jediná sila pôsobiaca na klinček je normálová sila \(F_N\) (ktorou taktiež klinček pôsobí na obruč, len v opačnom smere).

Aby bola obruč s polomerom \(R\) zaistená, musí byť výsledný moment sily okolo jej osi otáčania nulový. Vektor normálovej sily vyvolanej klinčekom vtedy bude smerovať do stredu obruče. Teda to bude vyzerať takto:

\[ M_1 + M_2 = 0\text{,} \] kde \[ \begin{aligned} M_1 &= F_g\cdot R\text{,}\\ M_2 &= F_N\cdot r\text{.}\\ \end{aligned} \]

Treba nám určiť rameno sily \(r\). Z obrázka vidíme, že trojuholník \(OTK\) je rovnoramenný, uhol \(\measuredangle OTK = \ang{180} - 2\alpha\), a z toho vyplýva, že uhol \(\measuredangle OTP = 2\alpha\).

Načo nám to je? Skvelá otázka. Vďaka tejto informácii už vieme pomocou goniometrických funkcií vyrátať rameno sily \(r\) veľmi jednoducho, \[ \sin\left(2\alpha\right) = \frac{r}{R}\text{,} \]

a odtiaľ \[ r = R\sin\left(2\alpha\right)\text{.} \]

Vidíme, že tiažová sila a normálová sila pôsobiaca na obruč otáčajú obruč v opačných smeroch, preto by sa patrilo dať jednému z momentov opačné znamienko. Dostávame \[ \begin{aligned} M_1 &= M_2\text{,} \\ mg &= F_N\sin\left(2\alpha\right)\text{,} \\ F_N &= \frac{mg}{\sin\left(2\alpha\right)}\text{.} \end{aligned} \]

Pripomeňme si, že chceme, aby bola sila \(F_N\) čo najmenšia. Hľadáme teda uhol, pri ktorom bude menovateľ nadobúdať čo najväčšiu hodnotu. Maximálna možná hodnota sínusu je \(1\) (alebo \(-1\)), preto možno napísať \[ \begin{aligned} \sin\left(2\alpha_1\right) &= 1 &\Rightarrow \alpha_1 &= \frac{\pi}{2} + 2\pi k &\Rightarrow \alpha_1 &= \frac{\pi}{4} + \pi k\text{,} \\ \sin\left(2\alpha_2\right) &= -1 &\Rightarrow 2\alpha_2 &= \frac{3\pi}{2} + 2\pi k &\Rightarrow \alpha_2 &= \frac{3\pi}{4} + \pi k\text{.} \end{aligned} \]

Nás zaujímajú len hodnoty uhlov v intervale \(\left<-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right>\) (kde sa nachádza obruč), ktoré sú \(\frac{\pi}{4} = \ang{45}\) a \(\frac{-\pi}{4} = \ang{-45}\).

Riešenie úlohy je teda nasledovné: klinček bude namáhaný najmenšou možnou silou práve vtedy, ak ho pribijeme pod obruč pod ťažiskom alebo nad ťažiskom obruče. Tak sa bude obruč bezpečne nehýbať a pomaly zapadať prachom.