1. Modelový problém vzorové riešenie

Zadanie

Peter, Pavel a Arthur objavili v babkinej pivnici celý balík plastelíny ešte z čias dávneho socializmu. Tak si z nej začali modelovať kadejaké veci. Všimli si, že rôzne sfarbenia plastelíny sú v rôznom štádiu rozkladu, a teda majú odlišné vlastnosti. Preto Pavel navrhol, že by si mohli vymodelovať zemeguľu na základe jedného z najjednoduchších fyzikálnych modelov zemského plášťa a kôry.

Ten predpokladá, že od istej hĺbky pod zemským povrchom tlak nezávisí od zemepisnej dĺžky ani šírky. Nakoľko chceli, aby ich model bol fyzikálne aj geograficky presný, povedali si, že vymodelujú aj pohoria. Dlho sa dohadovali na tom, ako hlboko by mal siahať „koreň“ (t. j. časť kôry pretŕčajúca do plášťa) hory výšky \(h\), ak hustota plastelíny zvolenej pre kôru, respektíve plášť je \(\rho_k\), \(\rho_p\), \(\rho_k<\rho_p\). Pokúste sa im s týmto problémom pomôcť.

Začnime tým, že si vyjasníme, ako vyzerajú vrchné vrstvy zemského telesa. Najvrchnejšou vrstvou Zeme je litosféra, ktorá pozostáva z niekoľkých litosférických dosiek. Litosféra zahŕňa zemskú kôru a vrchnú časť plášťa. Jej priemerná hustota je \(\rho_k\). Litosféra sa veľmi pomaly pohybuje po astenosfére, čo je čiastočne natavená vrstva plášťa s hustotou \(\rho_p\).

To, čo nám zadanie hovorí bez toho, aby nám to povedalo priamo, je, že máme uvažovať Airyho model litosféry. Ten, ako bolo povedané, predpokladá, že od istej hĺbky v zemskom plášti je v nejakej pevne zvolenej hĺbke konštantný tlak nezávislý na geografickej polohe miesta nad týmto bodom.

Uvažujme litosférickú dosku hrúbky \(t\). Zvoľme si hladinu konštantného tlaku, ktorá leží v hĺbke \(a\) pod rozhraním litosféra–astenosféra. To znamená, že v tejto hĺbke je tlak \[ p_{\mathrm{rovina}}=t\rho_{k}g+a\rho_{p}g\text{.} \]

Teraz uvažujme, že časť litosférickej dosky je zvrásnená a vrchol pohoria siaha do výšky \(h\) nad zvyšok dosky. To ale znamená, že pohorie tlačí svojou tiažou, no a táto extra hmota vyvíja dodatočný tlak. Aby teda v uvažovanej hĺbke bol všade rovnaký tlak, musí byť niekde pod pohorím oblasť s menšou hustotou než na rovnakom mieste pod nezvrásnenou doskou. To je príčinou, prečo sa litosférická doska prehne do astenosféry.

Nech doska pod pohorím siaha do hĺbky \(d\) pod úroveň rozhrania litosféry a astenosféry mimo pohoria. Potom tlak v uvažovanej hĺbke pod pohorím je \[ p_{\mathrm{pohorie}}=h\rho_{k}g+t\rho_{k}g+d\rho_{k}g+\left(a-d\right)\rho_{p}g\text{.} \] Toto prirodzene platí pre každý bod pod pohorím, pričom \(h\) predstavuje výšku pohoria presne nad týmto bodom. Avšak nás zaujíma najväčšia hĺbka koreňa, no a tú doska dosahuje neprekvapivo pod najvyšším bodom, preto za \(h\) berieme výšku najvyššieho vrchu pohoria.

Teraz nám už nič nebráni v tom dať nájdené tlaky mimo pohoria a pod pohorím do rovnosti. Členy, ktoré sú v oboch výrazoch, vypadnú a my môžeme vyjadriť neznámu hĺbku “koreňa” pohoria \[ d = \frac{\rho_{k}}{\rho_{p}-\rho_{k}}h\text{.} \]

Pre zaujímavosť môžeme odhadnúť hĺbku „koreňa“ Himalájí. Priemerná hustota zemskej kôry je približne \(\rho_{k}=\SI{2700}{\kilo\gram\per\metre\cubed}\) a hustota plášťa \(\rho_{p}=\SI{3500}{\kilo\gram\per\metre\cubed}\). Himaláje sú vysoké zhruba \(h=\SI{8}{\kilo\metre}\), čo dáva hĺbku „koreňa“ \(d=\SI{27}{\kilo\metre}\). To je v súlade s tým, čo nás učili na hodinách geografie – kontinentálna kôra je hrubá zhruba \(\SI{35}{\kilo\metre}\), no pod pohoriami to môže byť až \(\SI{70}{\kilo\metre}\).

Komentár k riešeniam

Veľa z vás pristupovalo k úlohe z pohľadu síl. Vychádzali ste pritom z rovnosti vztlakovej a tiažovej sily. Napriek tomu, že tento prístup je správny, často ste sa dopracovali k nesprávnemu výsledku. V čom bol teda problém?

Uvažovali ste nasledovne. Keď sa „koreň“ ponorí do plášťa, bude naň pôsobiť vztlaková sila \(F_{\mathrm{vz}} = Sd\rho_{p}g\), ktorá kompenzuje tiaž pohoria \(F_{\mathrm{G,hora}} = Sh\rho_{k}g\). Z rovnosti týchto dvoch síl ste dostali hĺbku „koreňa“ \(d = \frac{\rho_k}{\rho_p}h\), čo je nesprávne. Zabudli ste totiž, že aj samotný „koreň“ má istú hmotnosť, preto aj naň pôsobí tiažová sila \(F_{\mathrm{G,koreň}} = Sd\rho_{k}g\). Keď do rovnice pre rovnováhu síl pridáte aj tú, dostanete rovnaký výsledok, ako dáva prístup cez hydrostatický tlak \(d = \frac{\rho_{k}}{\rho_{p}-\rho_{k}} h\).

Ešte poznamenajme, že rozdiel hustôt v menovateli nie je prekvapivý. Miesto, kde sa nachádza „koreň“, pôvodne vypĺňal materiál plášťa, takže tam ubudla hmotnosť \(Sd(\rho_p - \rho_k)\). Na druhej strane však pribudla hmotnosť pohoria \(Sh\rho_k\). Aby sa tlak pod pohorím nezmenil oproti tlaku pod rovinou, nesmieme pridať ani odobrať žiadnu hmotnosť, preto musia byť tieto dve hmotnosti rovnaké, čo je úplne konzistentné s riešením.