3. Vesmírna kanonáda vzorové riešenie

Keby sme boli bývali riešili bežný stredoškolský príklad na hodine fyziky a nie FKS, určite by nám dovolili uvažovať homogénne gravitačné pole. Ako by sme vtedy postupovali? Využili by sme zákon zachovania energie a vypočítali rýchlosť vo výške \(h\), pretože súčet kinetickej energie \(\frac{mv^2}{2}\) a potenciálnej \(mgh\) by bol konštantný. Keď vieme, aký priebeh má závislosť veľkosti rýchlosti od výšky \(v(h)\) a uvažujeme podľa zadania veľkú frekvenciu strieľania, hľadaná vzdialenosť je \(v(h)/f\).

Čo sa zmení pri uvažovaní radiálneho poľa? Na kinetickej energii nič, ale potenciálna energia bude mať iný tvar. Veľkosť gravitačnej sily je \(F_g=\kappa\frac{M_z}{r^2}\), kde \(r\) je vzdialenosť ťažiska zeme a banánu a \(M_z\) je hmotnosť zeme. Potenciálna energia v takomto silovom poli je \(E_p = -G\frac{M_zm}{r}\). Pozornému čitateľovi by sa hádam mohlo zdať, že keď pri \(F_{gh}=mg\) to bolo \(E_{ph}=mgh\), vlastne vždy silu násobíme vhodnou vzdialenosťou a máme energiu (znamienko sa dáko „došachuje“), však \(W=Fs\). Bohužiaľ, to neplatí! Dôvodom je, že sila v radiálnom poli nie je konštantná v rôznych vzdialenostiach. Na konci vzoráku si povieme niečo o simulovaní takéhoto problému na počítači.

Teda ak sme si už na internete alebo v knižke našli vzťah pre výpočet potenciálnej energie, vieme, že celková energia Dušanovho banánu, ktorý sa správa ako hmotný bod, je \[ E=\frac{1}{2}mv_0^2 - G\frac{M_z}{R_z}\text{.} \]

Následne vieme vyjadriť závislosť rýchlosti banánu od jeho vzdialenosti od stredu Zeme \[ v=\sqrt{\frac{2}{m}\left(E + G\frac{M_z}{r}\right)}\text{.} \]

Keď Dušan vystrelí nejaký banán každých \(1/f\) sekúnd, \(n\)-tý banán bude o \(1/f\) tam, kde je v danom momente \((n-1)\). banán. Ak ich strieľa dostatočne rýchlo, vzdialenosť medzi banánmi je \[ s=\frac{1}{f}\sqrt{\frac{2}{m}\left(E + G\frac{M_z}{r}\right)}. \]

Je dôležité, si uvedomiť, že táto vzdialenosť nezávisí od hmotnosti banánu \(m\), lebo po dosadení počiatočnej energie \(E\) sa nám hmotnosť banánu vykráti. Všimnime si, že pri nekonečnej vzdialenosti od Zeme je vzdialenosť konštantná. Je to tak preto, že sme uvažovali, že banány majú dostatočnú rýchlosť na opustenie gravitačného poľa Zeme (teda aby sa dostali do nekonečna) a mimo neho sa pohybujú už iba konštantnou rýchlosťou.

Skúsme sa ešte pozrieť, ako by sme niečo takéto odsimulovali na počítači. Ide o simulovanie klasickej newtonovskej mechaniky, teda máme nejaké zrýchlenie (spomalenie), čo závisí od polohy. V čase \(t=0\) sa nachádzame v \(h=\SI{6378}{\kilo\metre}\) a máme počiatočnú rýchlosť \(v_0\). Zvolíme si krok \(\mathrm{d}t\) a spravíme si jednoduchý for-cyklus, kde budeme po krokoch \(\mathrm{d}t\) (napríklad \(\SI{0.1}{\second}\)) vždy robiť nasledovné:

• vypočítaj zrýchlenie \(a\) (v našom prípade záporné) podľa poslednej polohy \(h\)
• vypočítaj rýchlosť \(v_{\mathrm{new}}=v_{\mathrm{old}} + a\mathrm{d}t\)
• ulož starú polohu a vypočítaj novú \(h_{\mathrm{new}}=h_{\mathrm{old}}+v_{\mathrm{new}}\mathrm{d}t\)
• vypíš niekde do súboru čas a vzdialenosť \(h_{\mathrm{new}} - h_{\mathrm{old}}\).

Po zbehnutí programu si môžeme vykresliť graf, ktorý zodpovedá nášmu výsledku.