2. Súboj decibelov vzorové riešenie

Pre potreby tejto úlohy je dobré mať aspoň základné poznatky o zvuku. Vystačíme si s tým, že zvuk je akési vlnenie, ktoré sa šíri prostredím. Toto vlnenie rozkmitá bubienok v uchu a my to vnímame ako zvuk. Je prirodzené, že pod hlasitosťou rozumieme to, ako veľké je toto kmitanie. No buďme trochu odbornejší. Snáď každý vie, že hlasitosť sa udáva v decibeloch. Buď viete, čo tie decibely sú, alebo ste si to vyhľadali na internete. V každom prípade ste určite narazili na takúto definíciu: \[ L=\log\left(\frac{I}{I_{0}}\right)\:\left[\si{\bel}\right]\:=10\log\left(\frac{I}{I_{0}}\right)\:\left[\si{\deci\bel}\right]\text{,} \]

kde \(L\) je hladina intenzity zvuku, \(I\) je intenzita zvuku a \(I_{0}\) je nejaká referenčná intenzita. Nie je problém vygoogliť, že referenčná intenzita je zvolená zhruba ako najslabší zvuk, ktorý dokáže ľudské ucho zachytiť a má hodnotu \(I_{0} = 10^{12} \si{\watt\per\metre\squared}\).

Pre potreby tejto úlohy nie je nutné vedieť, čo presne intenzita zvuku je, no už na základe jednotky vieme, že ide o hustotu výkonu zvukovej vlny. Pre nás je dôležité to, že výkon zvukovej vlny sa musí zachovávať. No a keď sa vlnoplocha vzďaľuje od zdroja, rastie jej plocha so štvorcom vzdialenosti, preto hustota výkonu bude klesať so štvorcom vzdialenosti, a teda intenzita zvuku bude úmerná \[ I\left(r\right)\propto\frac{1}{r^{2}}\text{.} \]

Vybavení týmito informáciami môžeme pristúpiť k riešeniu našej úlohy. Zaveďme si súradnicovú sústavu tak, že jej osi sú paralelné so stenami miestnosti a jej počiatok leží v rohu izby. Potom Helbojov reprák má súradnicu \(x=\SI{0}{\metre}\), Helboj \(x=\SI{1}{\metre}\), jeho brat \(x=\SI{4}{\metre}\) a bratov reprák \(x=\SI{5}{\metre}\). Stačí nám uvažovať len intenzity na ich osi, preto efektívne riešime len 1D problém. Intenzita Helbojovho repráku sa mení ako \[ I_{H}\left(x\right)=\frac{\hat{I}_{H}}{x^{2}} \]

a intenzita bratovho repráku ako \[ I_{B}\left(x\right)=\frac{\hat{I}_{B}}{\left(5-x\right)^{2}}\text{.} \]

Z požiadavky, že každý z bratov má počuť hlasnejšie práve ten svoj reprák, dostávame dvojicu podmienok \[\begin{gather*} I_{H}\left(1\right)>I_{B}\left(1\right)\;\longrightarrow\;\hat{I}_{H}>\frac{1}{16}\hat{I}_{B}\text{,}\\ I_{H}\left(4\right)<I_{B}\left(4\right)\;\longrightarrow\;\frac{1}{16}\hat{I}_{H}<\hat{I}_{B}\text{.} \end{gather*}\] Keď poznáme definíciu hladiny intenzity, nie je žiadnym kumštom prepísať tieto nerovnosti v intenciách hladín intenzity:¹ \[\begin{gather*} \frac{\hat{I}_{H}}{I_{0}}>\frac{1}{16}\frac{\hat{I}_{B}}{I_{0}}\;\longrightarrow\;10\log\left(\frac{\hat{I}_{H}}{I_{0}}\right)>10\log\left(\frac{1}{16}\frac{\hat{I}_{B}}{I_{0}}\right)\;\longrightarrow\;L_{H}^{min}>L_{B}-10\log16\text{,}\\ \frac{1}{16}\frac{\hat{I}_{H}}{I_{0}}<\frac{\hat{I}_{B}}{I_{0}}\;\longrightarrow\;10\log\left(\frac{1}{16}\frac{\hat{I}_{H}}{I_{0}}\right)<10\log\left(\frac{\hat{I}_{B}}{I_{0}}\right)\;\longrightarrow\;L_{H}^{max}-10\log16<L_{B}\text{.} \end{gather*}\]

Dostávame teda, že Helboj môže pustiť svoj reprák v rozmedzí hladín intenzity \[ L_H = L_{B}\pm 10\log 16\doteq \SI{60\pm12}{\deci\bel}\text{.} \]