5. (Ne)ideálne akvárium? vzorové riešenie

Dobrá analógia sa na svoj vzor podobá nielen podobizňou, ale aj správaním. Správanie ideálneho plynu poznáme ako termodynamické deje, z ktorých vyčnievajú štyri pomerne jednoduché: izotermický, izochorický, izobarický a adiabatický. Ich analógiou by pre náš systém mali byť deje: izovýškový, izodĺžkový, izosilový a znova adiabatický. Ak sa ale zamyslíme nad konkrétnou realizáciou, rad radom narážame na problémy.

Napríklad držanie stáleho \(h\) a menenie len \(F\) a \(l\) je v rozpore s konštatnosťou objemu užitej kvapaliny. Rovnakého pôvodu sú aj problémy pri ďalších dvoch dejoch, jedine adiabatický dej sa ukazuje byť pre náš systém vcelku prirodzeným. Adiabatický dej vyžaduje, aby „plyn“ menil svoju vnútornú energiu len konaním práce. Podmienka konštantosti objemu kvapaliny v systéme nám ale neumožňuje meniť vnútornú energiu (pravá strana našej stavovej rovnice) nijak inak ako konaním práce.

Vyvstáva otázka, kde má naša stavová rovnica vadu. Sama o sebe predsa dovoľuje všetky možné deje, ich nemožnosť odhalí až pokus o (aspoň myšlienkovú) realizáciu. Je namieste spomenúť si (alebo spraviť) na odvodenie rovnice. Použili sme na to jednak vzťah pre hydrostatický tlak na pohyblivú stenu akvária \[ \frac{F}{hd}=\frac{\rho g h}{2}\text{,} \]

a dvak vyjadrenie objemu akvária pomocou jeho rozmerov \[ V=lhd\text{,} \]

kde \(d\) je šírka akvária. S dvoma rovnicami sme začali a použili sme ich na zostavenie ďalšej. V našej perepúti však stále máme dve nezávislé rovnice, a to, či je jedna z nich výpočet tlaku alebo „stavová rovnica“, je prakticky len estetickou záležitosťou. Stále máme aj druhú rovnicu, ktorá nás zväzuje. Tomu zodpovedá aj skutočnosť, že problém so stavovou rovnicou neoblomne vznikol vždy kvôli konštantnosti objemu užitej kvapaliny. Náš systém teda nie je vhodnou analógiou ideálneho plynu, keďže stavová rovnica, ktorú sme preň vytvorili nie je jedinou rovnicou zväzujúcou nami vybrané stavové veličiny.

Bonus

Zamyslime sa, čo sa stane, ak ako tretiu stavovú veličinu tohoto systému nevezmeme výšku hladiny, ale jej súčin s objemom, t. j. stavová rovnica bude \[ Fl=\frac{\rho g}{2}\left(Vh\right)\text{.} \]

Takto povolíme aj zmenu objemu kvapaliny, čím na úrovni myšlienkových experimentov vykonaných vyššie odstránime kameň úrazov pri prvých troch priateľských dejoch. Vysvetlenie na matematickej úrovni je o čosi abstraktnejšie. Stále existuje rovnica \[ V=lhd\text{,} \]

ktorá bola pred chvíľou Achillovou pätou nášho sytému. V aktuálnejšom hábe vyzerá takto: \[ \left(Vh\right)=lh^2d\text{.}\]

Ak narábame s \(Vh\) ako jednou nerozložiteľnou premennou (čo zhodou okolností práve robíme), táto rovnica o nej nič nehovorí, t. j. nedokáže prepojiť \(Vh\) s \(l\) nijak rozumne. Stále síce platí, ale na fyzikálnu výpoveď potrebuje vždy aj premennú \(h\), ktorú jej momentálne nemienime dopriať.

Poznámka k bonusu

Naše preonačenie síce zlikvidovalo potentnosť rovnice, ktorá nám bola už dlhšie tŕňom v oku, ale skúsenejší čitateľ sa mohol pokúsiť preskúmať aj štvrtý z jednoduchých dejov, t. j. adiabatický. Ak on aj autor vzoráku postupovali správne, vznikla nemilá vec, a totiž zliatie sa izosilového a adiabatického deja (popísateľné tým, že adiabatická konštanta \(\kappa=0\)). To má pôvod v malej chybičke krásy našej novej stavovej rovnice. Tá má na pravej strane totiž presne vnútornú energiu a nie len jej nejednotkový, násobok ako to je v stavovej rovnici ideálneho plynu. Nová rovnica teda je výbornou analógiou, ale pre fyzikálne nezmyselný systém, ideálny plyn, ktorého molekuly majú práve dva stupne voľnosti (odporúčam vyskúšať, pochopiteľne len výpočtom).