Zadanie
Malý Jurko si rád púšťa svoju kačičku v záchode1, prípadne robí aj iné neštandardné veci. Okrem toho sa občas hrá aj s autíčkami. Ako tak bol raz rozložený na podlahe svojej izby medzi desiatkami autíčok, zobral jedno do ruky a prešiel ním po dlážke tak, že sa jeho kolieska roztočili uhlovou rýchlosťou \(\omega\). Potom si do druhej ruky zobral druhé autíčko, ktoré malo rovnaké kolieska, a bez toho, že by ich podobným spôsobom roztočil, k nim pritlačil kolieska prvého autíčka.
Kolieska sa o seba treli, až po istom čase prestali medzi sebou prešmykovať. Za aký čas tento stav nastal a v akých uhlových rýchlostiach sa kolieska ustálili, ak Jurko tlačil silou \(F\) a koeficient trenia medzi kolieskami bol \(f\)?
Predstavme si naše kolieska ako dva identické valce s polomerom \(r\) a momentom zotrvačnosti \(I=\frac{1}{2}mr^{2}\), z ktorých jeden je spočiatku nehybný, a druhý sa točí uhlovou rýchlosťou \(\omega\) okolo vlastnej osi. Následne pritlačíme silou \(F\) druhý na prvý, čím medzi nimi vzniká trecia sila \(F_{t}=fF\).
Moment sily je tvorený iba trecou silou, keďže sila \(F\) je rovnobežná s \(r\). Teda \(M=rfF\) a pôsobí proti smeru rotácie valca. Zároveň je druhý rovnakým momentom zrýchľovaný.
Pre rotačný pohyb valca okolo jeho osi platí \[M= I \epsilon \text{.}\] Keďže moment sily \(M\) a moment zotrvačnosti \(I\) sú konštantné, tak uhlové zrýchlenie \(\epsilon\) musí byť tiež. To znamená, že o koľko prvý valec zrýchli, druhý spomalí. Kolieska prestanú prešmykovať vtedy, keď sa ich uhlové rýchlosti vyrovnajú, a to nastane, keď sa ustália na uhlovej rýchlosti \(\frac{\omega}{2}\).
Prenásobíme pohybovú rovnicu časom \(t\), za ktorý prestane prešmykovať a upravíme \[Mt= I \epsilon t=I \frac{\omega}{2} \text{.}\] Nakoniec vyjadríme \(t\), a po dosadení získavame výsledný čas \[t=\frac{I \omega}{2M}=\frac{mr \omega}{4fF}\text{.}\]
Teda za čas \(t=\frac{mr \omega}{4fF}\) od pritlačenia sa kolieska ustália na rýchlosti \(\frac{\omega}{2}\).
Diskusia
Tu môžte voľne diskutovať o riešení, deliť sa o svoje kusy kódu a podobne.
Pre pridávanie komentárov sa musíš prihlásiť.