7. Intergalaktický chill vzorové riešenie

Čím hlbšie sa zaujímame o fyziku, tým častejšie sa stáva, že naše zmysly a intuícia zlyhávajú. Najlepšie to vidno v extrémnych podmienkach, s akými sa v bežnom živote nestretneme: pri veľmi malých alebo naopak veľmi veľkých rozmeroch, relativistických rýchlostiach a podobne. No a vnímanie teploty niečoho, čo teplotu vlastne nemá, tiež patrí do tejto kategórie.

Asi viete, že skutočná a pocitová teplota sa vôbec rovnať nemusia ani za bežných okolností. Napríklad keď vonku poriadne fúka, teplota vzduchu sa vôbec nemusí zmeniť, zato je vám podstatne chladnejšie. Dôvodom je to, že prúdiaci vzduch odoberá teplo omnoho efektívnejšie, ako stojaci a vaša koža potom rýchlo chladne. Preto skutočnou, správnou jednotkou „pocitu zimy“ by ani nemala byť teplota (), ale strata tepelnej energie za čas na jednotku plochy – teda .

Receptory v ľudskej koži totiž nikdy necítia teplotu okolia, ale len svoju vlastnú. A keďže telo sa pokúša udržať teplotu okolo \(\SI{37}{\celsius}\) a vytvára vlastné teplo, väčšinou je táto bilancia mierne záporná. Naše telo počas rôznych metabolických procesov hospodári s prebytkom tepelného výkonu na úrovni okolo \(\SI{100}{\watt}\), ktorého sa ideálne chce zbaviť. Keď sedíme v izbe s teplotou vzduchu \(\SI{25}{\celsius}\), strácame približne týchto \(\SI{100}{\watt}\) a je nám príjemne. Keď si sadneme do rovnako teplej vane, strácame tepla výrazne viac a cítime chlad.

Vzduch je v totiž veľmi dobrý izolant, pokiaľ ide o vedenie tepla (kondukciu), môže však teplo viesť makroskopickým prenášaním teplých molekúl (konvekciou). Preto domy zatepľujeme vzduchom, ktorému sme zabránili sa hýbať tým, že sme ho uväznili v bublinkách penového polystyrénu.

Okrem týchto dvoch spôsobov prenosu tepla ešte poznáme prenos žiarením a straty pri vyparovaní.

Každé teleso¹ vyžaruje zo svojho povrchu energiu vo forme elektromagnetického žiarenia. V izbe sme väčšinou v stave rovnováhy – strácame rovnako veľa, ako prijímame. Ak si sadneme blízko horúcej pece, cítime silné teplo. Stačí si však zatieniť kožu kúskom papiera a tento pocit zmizne². Podobne ak sa priblížime k studenej vonkajšej stene, cítime chlad. Nie že by stena nejaký chlad vyžarovala – ide o to, že vyžarujeme my, a od steny nedostávame rovnaký výkon naspäť.

Na a nakoniec pri vyparovaní sa teplo z kože spotrebúva na vytrhávanie molekúl z kvapaliny. Medzi jednotlivými molekulami pôsobia príťažlivé sily. Niektoré molekuly však náhodnými zrážkami občas získajú toľko energie, že tieto sily prekonajú. Pritom však časť energie odnesú so sebou, takže celková energie tepelného pohybu ostatných molekúl sa zníži a teda aj teplota klesne.

Keď sme už dostatočne teoreticky podkutí, poďme sa pozrieť, ako tieto štyri mechanizmy budú pôsobiť na Andreja.

Konvekcia

Aj v extrémne riedkom medzigalaktickom priestore stále nejaké častice sú. Ich skutočná teplota je na úrovni okolo \(\SIrange[parse-numbers = false]{10^5}{10^7}{\kelvin}\). Problémom je však ich veľmi nízka hustota, iba pár častíc na \(\si{\metre\cubed}\). Frekvencia zrážok teda bude tiež nízka: aj pri hornej hranici teploty \(\SI[parse-numbers = false]{10^7}{\kelvin}\) odovzdá jedna častica energiu \(kT \approx \SI{1.6e-19}{\joule\per\kelvin} \cdot \SI[parse-numbers = false]{10^7}{\kelvin} \approx \SI{1.6e-12}{\joule}\). Prenos tepla týmito časticami, čiže konvekciou, môžeme úplne zanedbať.

Kondukcia

Nuž, tu nie je čo riešiť. Andrej je pomerne tuhé teleso a molekuly si s okolím veľmi nevymieňa – okrem vody vo forme vlhkosti kože, tú však vyriešime neskôr. Preto nemôže ani odovzdávať energiu kondukciou.

Žiarenie

Čo so žiarením? V prvom rade Andrej stráca teplo vyžarovaním z celého svojho povrchu. Povrch kože dospelého muža je približne \(\SI{2}{\metre\squared}\). Keďže Andrej nie je konvexný³, časť žiarenia trafí nejakú inú časť jeho povrchu, a teda sa nevyžiari do voľného priestoru, ale opäť absorbuje. V rádovom odhade nám to ale prekážať nebude – pozrieme sa na ľubovoľnú plôšku, ktorá vyžaruje do celého polpriestoru.

Koža, aj keď sa to nezdá, má emisivitu veľmi blízku dokonale čiernemu telesu⁴, takže celkový stratený výkon môžeme počítať priamo zo Stefanovho-Boltzmannovho zákona. Andrejova teplota by mala byť okolo \(\SI{310}{\kelvin}\), čo nám po dosadení dá hodnotu približne \(\SI{-523}{\watt\per\metre\squared}\). Približne taký výkon strácate žiarením práve teraz aj vy.

Napriek tomu vám zrejme zima nie je, pretože sedíte v prostredí, ktoré vyžaruje rovnaký výkon späť. Andrej takýto luxus nemá, ale predsa však naňho žiari kozmické pozadie. Toto si môžeme predstaviť ako dokonale čierne teleso, ktoré Andreja kompletne obklopuje v priestorovom uhle \(4\pi\). Naša malá plôška teda takisto absorbuje žiarenie z celého polpriestoru, ktorý vidí. Teplota kozmického pozadia je však iba \(\SI{2.73}{\kelvin}\), čomu zodpovedá výkon približne \(\SI{1.5}{\micro\watt\per\metre\squared}\). Takéto nič môžeme s pokojným svedomím úplne zanedbať.

Vyparovanie

Nakoniec si ešte uvedomíme, že Andrejova koža je určite aspoň trochu vlhká a že vyparovanie tejto vlhkosti ho bude ďalej chladiť. Na odparenie \(\SI{1}{\gram}\) vody potrebujeme približne \(\SI{2257}{\joule}\). Pri prakticky nulovom tlaku bude toto odparovanie prebiehať veľmi rýchlo. Andrej teda najprv pocíti veľký chlad, ktorý sa postupne zníži na hodnotu okolo \(\SI{-523}{\watt\per\metre\squared}\). Povedzme, že v prvej chvíli sa z jeho povrchu bude odparovať \(\SI{1}{\gram\per\metre\squared\per\second}\). Potom musí strácať ďalších \(\SI{2257}{\watt\per\metre\squared}\), čiže spolu \(\SI{2790}{\watt\per\metre\squared\per\second}\).

Keďže bežní ľudia ale pre jednotku nemajú príliš pochopenie, nakoniec by sme mali výsledok prerátať späť na stupne Celzia. Pýtame sa teda: pri akej teplote bude nahý Andrej stojaci v nehybnom vzduchu strácať ?

Zhodu nájdeme napríklad pomocou tejto kalkulačky⁵. Tá síce nepodporuje nulovú rýchlosť vetra, môžeme tam však zadať pár malých čísel (napríklad 4, 3 a \(\SI{2}{\metre\per\second}\)) a doextrapolovať výsledok tak, že budeme tipovať pôvodnú teplotu. Nie je to úplne lineárne, ale ako hrubý odhad to bude stačiť. Približnú zhodu nájdeme pri teplote okolo \(\SI{9}{\celsius}\). Ak by sme však uvažovali aj odparovanie vody rýchlosťou \(\SI{1}{\gram\per\metre\squared\per\second}\), zhodu nájdeme až pri teplote okolo \(\SI{-90}{\celsius}\)⁶. Skutočne, vo vákuu sa voda odparuje veľmi búrlivo a pritom odoberá množstvo tepla.

Záverom teda môžeme tvrdiť, že suchý Andrej sa v medzigalaktickom priestore bude cítiť asi ako za bezveterného suchého zimného rána s teplotou okolo \(\SI{9}{\celsius} = \SI{282}{\kelvin}\). Ak by sa navyše vlhkosť z jeho kože odparovala rýchlosťou \(\SI{1}{\gram\per\metre\squared\per\second}\), pocíti treskúcu zimu na úrovni najchladnejších antarktických nocí. Pri nulovom tlaku a nulovom obsahu kyslíka ale tak či onak bude mať iné problémy, ako pocit zimy.

Komentár autora úlohy a opravovateľa

Pri bodovaní tejto úlohy som mal tri základné požiadavky:

1. Uvedomiť si, že človek necíti priamo teplotu, ale tepelné straty alebo zisky na určitú plochu.
2. Ďalej treba opísať, ako sa vo vesmíre môže strácať teplo, teda že pôjde dominantne o žiarenie (približne) čierneho telesa. Vyparovanie vlhkosti je iba drobný bonus.
3. Potom si musíme všimnúť, že vo vzduchu budeme mať zdroje strát dva: opäť žiarenie do okolia a k nemu ešte straty vedením alebo konvekciou. Okrem toho nesmieme zabudnúť, že vzduch okolo Andreja naňho ešte žiari nezanedbateľným výkonom naspäť. Keď to všetko započítame, vieme nájsť teplotu, pri ktorej sa výkony budú rovnať. Buď pomocou nejakej tabuľky, alebo si vytvoríme model a dopočítame.

Za každé z týchto uvedomení ste dostali približne dva body. Zvyšok sa dal získať za opis javov a zostavenie rovníc, občas som bod strhol za nejakú zjavnú numerickú chybu. Ako to v týchto úlohách býva, Vaše hodnoty konštánt sa mohli celkom divoko líšiť, takže som ich veľmi do úvahy nebral, ak to nedávalo vo výsledku nejaký zjavný nezmysel.

Veľmi pekné riešenia poslali Dvojka, Myšel a Jonáš.