7. Scott a Amundsen vzorové riešenie

Zadanie

Dve šošovky sú zábava, ale dva magnety sú ešte väčšia. Maťo si ich rozostavil tak, ako vidíte na obrázku. Keďže Maťo má rád efektívnu robotu, rád by zistil, na ktorý z týchto úkonov treba viac práce:

1. otočiť jeden z magnetov o \(\ang{180}\), aby boli súhlasne orientované,
2. presunúť jeden z magnetov po priamke, na ktorej ležia ich stredy nekonečne ďaleko.

Bonus: Aký je pomer potrebných prác?

Na vyriešenie úlohy stačilo použiť jedinú myšlienku, takže riešenie je pomerne jednoduché. Pokiaľ sa chcete dozvedieť iba samotné riešenie, tak Vám stačí prečítať si nasledujúci odsek. Pokiaľ sa chcete dozvedieť aj niečo viac o magnetoch, môžete čítať smelo ďalej aj nasledujúce sekcie. V poslednej sekcii sa aj podrobne pozrieme na to, prečo spomínaný trik funguje. Napriek tomu, že vzorákovač tejto úlohy sa snažil v tejto časti násť rozumný kompromis medzi rigóznosťou a náročnosťou, nie je mu jasné, či sa mu to podarilo. I tak vás však povzbudzujem k prečítaniu, keďže túto časť považujem za celkom dôležitú.

Samotné riešenie

Ak máme pri sebe dva magnety, orientované tak, aby sa odpudzovali, na presunutie jedného z magnetov po priamke, na ktorej ležia ich stredy, potrebujeme prácu \(W\). Ako je to však ale s otočením? Jeden zo spôsobov, ako otočiť magnet, je posunúť ho do nekonečna, tam ho bez námahy otočiť, pretože už necíti magnetické pole druhého magnetu, a potom ho vrátiť naspäť. Posunutie do nekonečna nás stálo prácu \(W\), posunutie naspäť tiež. Premyslite si, že posunutie otočeného magnetu musí stáť toľko isto energie. Celkovo nás otočenie stojí \(2W\). Odpoveď na otázku zo zadania je teda taká, že otočenie nás stojí viac práce. Pomer prác je \(1:2\), respektíve \(2:1\), podľa toho, ako sa na to pozeráme. Riešenie vyzerá extrémne jednoducho, ale za jednoduchým postupom je skrytých niekoľko hlbokých myšlienok.

Úvod do magnetických dipólov a magnetov

Zamerajme sa najprv na situáciu dvoch magnetických slučiek. Magnetické pole takejto slučky je \[ \vec{B_\mathrm{dip}}\left(\vec{r}\right) = \frac{\mu_0}{4 \pi r^3}\left(3\left(\vec{m}\cdot \frac{\vec{r}}{r}\right)\frac{\vec{r}}{r} - \vec{m}\right)\text{,} \]

kde \(\vec{m}\) označuje magnetický moment slučky. V prípade slučky sa počíta sa ako \(\vec{m}=I \vec{a}\), kde \(\vec{a}=S \vec{\hat{a}}\), pričom \(S\) je plocha slučky, \(\vec{\hat{a}}\) je jednotkový vektor kolmý na rovinu slučky a jeho smer závisí od smeru prúdu podľa pravidla pravej ruky. Inými slovami, ak obrátime smer prúdu, zmení sa aj smer magnetického momentu \(\vec{m}\) na opačný.

Prečo sme toto vôbec rozoberali? Dôvod je jednoduchý, všetky magnetické polia sú vytvorené buď tečúcimi prúdmi, alebo zmenami elektrického poľa. Elektrón obiehajúci okolo jadra si môžeme predstaviť ako analogickú prúdovú slučku¹. Každý elektrón obiehajúci okolo jadra produkuje určitý magnetický (dipólový) moment, ktorý následne vytvára magnetické pole.

Prečo potom nevytvárajú magnetické polia všetky materiály, keď vo všetkých látkach je veľa elektrónov obiehajúcich okolo jadier? Odpoveď je jednoduchá, magnetické dipólové momenty sú orientované náhodne, a preto sa v konečnom dôsledku vyrušia. Avšak ak dáme prúdovú slučku do magnetického poľa, pôsobí na ňu moment sily, ktorý sa ju snaží natočiť v smere magnetického poľa. Toto nie je až také jednoduché. Podľa toho, čo sa stane v externom magnetickom poli s prúdovými slučkami v konkrétnom materiáli, ich delíme na para-, dia- a feromagnetické. Paramagnetické látky zosilňujú vonkajšie elektrické pole, pretože sa v nich “prúdové slučky” natočia do smeru vonkajšieho elektrického pola. Diamagnetické látky zoslabujú vonkajšie elektrické pole. Napokon poznáme feromagnetické látky, ktorých “slučky zamrzli” vo svojich pozíciách. Korektné objasnenie feromagnetizmu si však vyžaduje kvantovú mechaniku.

Pokročilá diskusia

Od teraz zabudneme na to, že sa hráme s magnetmi a všetky svoje úvahy sformulujeme pre slučky s magnetickým momentom \(\vec{m}\). Po prvé, povedali sme, že dve prúdové slučky sa priťahujú. V skutočnosti magnetická slučka v homogénnom magnetickom poli necíti žiadnu silu, iba moment sily. Vhodné je predstaviť si štvorcovú slučku a spočítať si sily, ktoré na ňu pôsobia. V homogénnom poli vyjde výsledna sila nulová. Teraz si predstavme magnetické pole, ktoré je kolmé na slučku, ale na jednej strane je silnejšie ako na druhej. Na takúto slučku pôsobí nenulová sila.

Po druhé, je známym faktom, že magnetické pole nikdy nekoná prácu. O tomto sa ľahko presvedčíme: Sila na náboj v magnetickom poli je \[ \vec{F}=q \vec{v} \times \vec{B}\text{,} \]

kde \(q\) je náboj, \(\vec{v}\) je rýchlosť a \(\vec{B}\) je vektor magnetického poľa. Posunutie o \(\vec{l}\) vieme prepísať ako \(\vec{v} t\) a prácu následne vyjadriť ako \[ W=\vec{F} \cdot \vec{l}=q \vec{v} \times \vec{B} \cdot \vec{v} t \text{.} \]

Avšak, keďže \(\vec{v} \times \vec{B}\) je kolmé na \(\vec{v}\), skalárny súčin v predchádzajúcej rovnici nám dá nulu. Ako je to teda s tou prúdovou slučkou? Veď tá sa pohne v smere sily, čiže magnetické pole koná prácu. Kde je problém? Predstavme si situáciu, ktorá je vykreslená na obrázku.

Čitateľ ľahko nahliadne, že sila pôsobiaca na slučku je \(F_z=I B a\text{.}\) Čo je to vlastne sa silu? Jednoduchý argument by bol, že magnetické pole iba mení smer rýchlosti elektrónov, tie avšak sú obmedzené tým, že sa môžu pohybovať iba v rámci vodiča. Elektrón ktorý teda zatočí, narazí na okraj vodiča a odovzdá mu svoju kinetickú energiu. Magnetické pole premieňa “prúdovú energiu”, teda kinetickú energiu elektrónov, na potenciálnu. Ak chceme, aby slučka stúpala, musíme udržiavať vo vodiči prúd, a teda prácu koná ten, kto udržiava prúd, a nie magnetické pole.

Avšak o slovo sa ešte hlási druhý mechanizmus. Keď slučka začne stúpať, elektróny v nej sa vzhľadom na magnetické pole nepohybujú len v smere vodiča, ale aj v smere pohybu vodiča. Čiže aj doprava a zároveň hore. Magnetická sila teda nepôsobí iba kolmo na vodič, ale aj proti smeru tečenia prúdu. Inými slovami, vo vodiči sa indukuje napätie, ktoré pôsobí proti smeru tečenia prúdu. Ak teda chceme, aby sa vodič pohol, musíme mu dodávať viac energie a udržiavať v ňom prúd.

Tento fakt možno poznáte ako to, že indukované napätie je záporná časová zmena magnetického toku. \[ U_{\mathrm{ind}} = -\frac{\mathrm{d}\Phi}{\mathrm{d}t} = -\frac{\partial }{\partial t} \int \vec{B} \cdot \vec{dS}\text{.} \]

Ukazuje sa, že, práca ktorá musí byť vykonaná na udržanie prúdu, je rovná tej, ktorú sme spočítali iba z úvah pre magnetickú silu. Je prekvapujúce, a zároveň pre nás výhodné, že práca, ktorú koná niekto iný ako magnetické pole, sa dá spočítať ako práca, ktorú koná magnetické pole, hoci vieme, že to nikdy nekoná prácu. Analogické úvahy môžme vykonať pre magnetické slučky v materiáli. Avšak tu už nik neudržiava stály prúd, čiže všetko funguje na úkor vnútorných prúdov, resp. na úkor kinetickej energie nábojov v magnete. Vo všeobecnosti sa dá na magnetické pole pozerať ako na sprostredkovateľa, ktorý nekoná prácu, ale iba mení jeden druh energie na druhý.

Posledný problém je, že vôbec nie je očividné prečo by malo otočenie magnetu, čiže magnetickej slučky, stáť rovnako veľa práce, ako jeho posunutie do nekonečna, otočenie a posunutie naspäť. V podstate tvrdíme, že magnetické pole je konzervatívne, čo znamená, že práca potrebná na posunutie z jedného bodu do druhého bodu závisí iba od týchto bodov, nie cesty medzi nimi. To je ale pre magnetické polia splnené triviálne, pretože práca medzi ľubovoľnými dvoma bodmi je nulová. Avšak my veselo počítame prácu z magnetickej sily pre slučky, aj keď vieme, že magnetické pole nekoná žiadnu prácu. Je dôležité si uvedomiť, že to je iba výpočtový trik. Táto sila, pôsobiaca na slučku, resp. magnetický dipól sa dá vypočítať ako² \[ \vec{F}=\nabla (\vec{m} \cdot \vec{B})\text{.} \qquad(1)\]

Symbol \(\vec{m}\) označuje magnetický dipólový moment. Nemusíte sa trápiť, čo presne je \(\nabla\). Zaužívaný názor pre \(\nabla\) je gradient. Teraz využijeme jednu netriviálnu znalosť z matematiky, a to, že pole je konzervatívne práve vtedy, keď sa dá napísať ako gradient nejakej funkcie, nazývanej potenciál, v matematickej reči \(\nabla V\). Avšak to je presne tvar sily, ktorá pôsobí na dipól. Táto sila je gradientom nejakej skalárnej funkcie, potenciálu. Čiže potenciál pre takúto “silu na dipól” existuje, a preto “sila na dipól” je konzervatívna a môžeme robiť triky, ktoré sme robili, čiže cestovať rôznymi cestami za rovnakú cenu.³

Taktiež vidíme, prečo proces vracania otočeného magnetu naspäť stojí rovnako veľa energie. Dôvod je ten, že otočený magnet má dipólový moment \(-\vec{m}\text{.}\)