3. Príliš mastná polievka vzorové riešenie

Zadanie

Majka si minule vymyslela hustý spôsob, ako merať hustotu objektov. Do nádoby naliala vodu s hustotou \(\SI[per-mode = symbol]{1}{\gram\per\centi\metre\cubed}\) a na ňu naliala olej s hustotou \(\SI[per-mode = symbol]{0.9}{\gram\per\centi\metre\cubed}\) tak, aby vytvoril na vodnej hladine vrstvu hrubú \(\SI{9}{\centi\metre}\). Potom pre otestovanie svojho vynálezu zobrala homogénny drevený valec vysoký \(\SI{25}{\centi\metre}\) a ponorila ho do nádoby. Nad hladinu trčalo vrchných \(\SI{4}{\centi\metre}\) valca. Viete vypočítať, aká je hustota dreva, z ktorého je valec vyrobený?

Prvým úspešným krokom k riešeniu je spomenúť si na Archimedov zákon. Ten nám hovorí, že teleso ponorené do kvapaliny je nadľahčované hydrostatickou vztlakovou silou, ktorej veľkosť sa rovná tiaži kvapaliny s rovnakým objemom, ako je objem ponorenej časti telesa. Inými slovami, po tom, čo teleso ponoríme do kvapaliny, pôsobia naňho dve sily: tiažová, ktorá ho “ťahá” nadol a vztlaková, ktorá ho “ťahá” nahor.

Je zrejmé, že ak je tiažová sila väčšia než vztlaková,¹ teleso klesne ku dnu. Ak by boli tieto sily rovnaké (\(\rho_\text{kvapalina} = \rho_\text{teleso}\)), teleso sa bude voľne vznášať vo vode, ale bude celé ponorené. Ak je jeho hustota menšia, než hustota kvapaliny, bude ponorená práve taká časť, aby tiažová sila pôsobiaca na kvapalinu objemu ponorenej časti bola rovná tiažovej sile pôsobiacej na celé teleso. Toto je presne náš prípad.

Pre zaujímavosť a hlbšie pochopenie si ešte uvedomme, že ak nádobu s vodou položíme na váhu, vynulujeme a následne do kvapaliny ponoríme teleso, váha nám ukáže hmotnosť tohoto telesa vo všetkých troch prípadoch. Ak by sme do vody ponorili prst, ukáže nám hmotnosť, tekutiny s rovnakým objemom, ako má ponorená časti prsta. Po tom, čo do kvapaliny začneme ponárať prst, na nás kvapalina začne pôsobiť vztlakovou silou. My na kvapalinu pôsobíme presne takou silou, aby sme túto vztlakovú silu vyrovnali. Inak by sa buď prst ponáral hlbšie alebo stúpal nahor. A je to ekvivalentné vloženiu telesa s hmotnosťou, ktorú vidíme na váhe (tiažová sila by sa rovnala nášmu silovému pôsobeniu). Poďme však už k samotnému príkladu.

Poučení predchádzajúcimi odsekmi vieme, že vztlaková sila od oleja spolu so vztlakovou silou od vody majú vyrovnať tiažovú silu pôsobiacu na teleso (ak teleso nemá klesnúť ku dnu): \[ F_\mathrm{tiaž} = F_\mathrm{olej} + F_\mathrm{voda}\text{.} \]

Označme si plochu podstavy valca \(S\). Objem valca potom bude \(V_\text{valec} = S \cdot \SI{25}{\centi\metre}\) a tiažová sila pôsobiaca na valec \(F_\text{tiaž} = V_\text{valec} \cdot \rho_\text{drevo}\cdot g\), kde \(\rho_\text{drevo}\) je hustota materiálu, z ktorého je valec vyrobený, čiže to, čo chceme spočítať, a \(g\) je tiažové zrýchlenie. V oleji je ponorená časť valca s objemom \(V_\text{v oleji} = S \cdot \SI{9}{\centi\metre}\). Vztlaková sila pôsobiaca na valec od oleja je teda \(F_\text{olej} = V_\text{v oleji}\cdot\rho_\text{olej}\cdot g\), čiže tiažová sila pôsobiaca na olej s objemom \(V_\text{v oleji}\). Posledný člen, ktorý potrebujeme, je vztlaková sila od vody a tá je rovná \(F_\text{voda} = V_\text{vo vode} \cdot \rho_\text{voda} \cdot g\), kde \(V_\text{vo vode} = S \cdot \SI{12}{\centi\metre}\). Rovnosť si teda môžeme prepísať na \[V_\text{valec} \cdot \rho_\text{drevo}\cdot g = V_\text{v oleji}\cdot\rho_\text{olej}\cdot g + V_\text{vo vode} \cdot \rho_\text{voda} \cdot g\] a jednoduchými matematickými úpravami dospejeme k výsledku \[ \rho_\text{drevo} = \frac{9\rho_\text{olej} + 12\rho_\text{voda}}{25} = \SI[per-mode = symbol]{0.804}{\gram\per\centi\metre\cubed}\text{.} \]

Hustota dreva, z ktorého je materiál vyrobený, je teda \(\rho_\text{drevo} = \SI[per-mode = symbol]{0.804}{\gram\per\centi\metre\cubed} = \SI[per-mode = symbol]{804}{\kilo\gram\per\metre\cubed}\).