7. Popletená Denda vzorové riešenie

Zadanie

Denda rada skúša nové veci. Napríklad také štrikovanie. Nemala ale po ruke žiadnu štrikovaciu priadzu, preto si na svoj výtvor zobrala prvú použiteľnú vec – odporový drôt. Robota jej išla od ruky a po chvíli mala hotovú nekonečne veľkú trojuholníkovú sieť. Chvíľu bola na svoj výtvor veľmi hrdá, potom si však uvedomila, že nevie, aký je odpor jej siete medzi dvoma susednými uzlami, ak odpor každej hrany je \(R\), a jej hrdosť značne utrpela. Vedeli by ste jej pomôcť?

Priznávam, vypočítať odpor medzi dvoma susednými uzlami Dendinej siete je celkom ťažký oriešok. Nestačia na to štandardné triky ako prekreslenie komplikovaného zapojenia na čisto sériové a paralelné, či už pomocou transformácie trojuholník–hviezda alebo spájania a rozpájania uzlov s rovnakým potenciálom. Treba vytiahnúť väčší kaliber s názvom „superpozícia“.

Čo to vlastne znamená? Celý elektromagnetizmus, vrátane správania sa prúdov a potenciálov v odporových schémach, je popísaný štyrmi Maxwellovými rovnicami.¹ Netreba vám ich poznať, netreba ich riešiť, stačí vedieť, že sú to lineárne diferenciálne rovnice.

Tie majú veľmi dobrú vlastnosť: keď vezmeme jedno rozloženie nábojov, prúdov, potenciálov…, ktoré spĺňa Maxwellove rovnice, druhé nejaké iné rozloženie, ktoré tiež spĺňa Maxwellove rovnice, tak aj ľubovoľná lineárna kombinácia² týchto rozložení spĺňa Maxwellove rovnice. A to my presne využijeme, keďže odpor vieme spočítať pomocou Ohmovho zákona, ak vieme zistiť, aký prúd bude pretekať schémou pri nenulovom napätí medzi spomínanými uzlami. Nájdeme teda dve situácie, v ktorých vieme jednoducho priradiť potenciály spomínaným uzlom a prúdy jednotlivým vetvám, a potom ich skombinujeme tak, aby vchádzal prúd iba do jedného uzla, a vychádzal iba z druhého.

Pustime sa teda rovno do toho. Na začiatok si označme ľavý zo spomínaných dvoch uzlov A, a pravý nech je B. Prvá situácia, v ktorej vieme pomerne jednoducho zrátať prúdy a potenciály je, že do uzla A bude vstupovať prúd \(I\), pričom uzol nech má potenciál \(\phi'_A = 0\), a bude vychádzať v nekonečne. To je pomerne neštandardné, no takýmto zavedením podmienok dosiahneme to, že prúd sa bude symetricky rozchádzať do všetkých smerov od uzla A.

To znamená, že prúd z A do B má hodnotu \(\frac{I}{6}\) a potenciál uzla B má v tomto prípade hodnotu \(\phi'_B = \frac{-RI}{6}\)³. Keby sme si chceli zrátať potenciál v nekonečne, formálne by sme dostali \(\phi'_{\infty} = -\infty\), pretože odpor medzi uzlom A a nekonečnom je nekonečný. Ako si však ukážeme neskôr, nezahrá si to vo výpočte žiadnu úlohu, takže nás to nemusí trápiť.

Druhá situácia je podobná. Nech nám vteká prúd \(I\) v nekonečne a nech vyteká von z uzla B. Takže teraz bude prúd vtekať symetricky do uzla B zo všetkých strán, pričom jeho hodnota z A do B bude opäť \(\frac{I}{6}\). Ak si povieme, že potenciál \(\phi''_B = 0\), tak v A musí byť potenciál \(\phi''_A = \frac{RI}{6}\). Formálne je tentokrát v nekonečne potenciál \(\phi''_{\infty} = \infty\).

Tak a teraz stačí tieto dve situácie sčítať. To znamená, že do uzla A vteká prúd \(I\), z uzla B vyteká prúd \(I\), a v nekonečne je všetko v poriadku lebo sa prúdy vyrušili. Ešte treba sčítať potenciály. Pre uzol A platí \[ \phi_A = \phi'_A + \phi''_A = \frac{RI}{6} \text{,} \]

a pre uzol B \[ \phi_B = \phi'_B + \phi''_B = \frac{-RI}{6} \text{,} \] Výsledný potenciál v nekonečne nás nemusí trápiť, keďže tade prúd nevteká ani nevyteká. Navyše ani by sme ho nevedeli určiť, lebo rozdiel dvoch nekonečien môže byť čokoľvek.

Už by sme mali počuť zvuk fanfár, lebo máme všetko potrebné na výpočet výsledného odporu. Pri pretekajúcom prúde \(I\) cez sieť je napätie medzi uzlami A a B \(U = \phi_A - \phi_B = \frac{RI}{3}\), takže z Ohmovho zákona triviálne dostávame, že odpor medzi dvoma susednými bodmi Dendinej siete je \(\frac{R}{3}\).