Zadanie

Myslíme, že na otázku „Kde bývaš?“ vie každý z vás pohotovo odpovedať. Prečo si ale túto odpoveď nevylepšiť číselnými údajmi? Odmerajte zemepisnú šírku vášho bydliska. Ako bonus môžete odmerať aj jeho zemepisnú dĺžku. Ako správni nevyliečiteľní paranoici predpokladajte, že kartografi sú degeši a mapám sa nedá veriť.

O tom, ako poriadne spracovávať Vaše experimentálne výsledky, sa môžete viac podučiť napríklad v študijnom texte českej Fyzikálnej olympiády na http://fyzikalniolympiada.cz/texty/mereni.pdf.

Na začiatok si stručne zopakujme, čo sú vlastne tie GPS súradnice, ktorými určujeme polohu. Prvá súradnica, zemepisná šírka, je uhol medzi rovinou rovníka a spojnicou stredu Zeme s miestom, ktorého súradnice určujeme. Rovník má teda \(\ang{0}\) zemepisnej šírky, severný pól \(\ang{90}\) a južný pól \(\ang{-90}\). Druhou súradnicou je zemepisná dĺžka, teda uhol, ktorý zviera rovina miestneho poludníka s nultým (greenwichským) poludníkom, pričom poludník je polkružnica spájajúca severný pól s južným. Zemepisná šírka sa teda udáva v stupňoch od \(\ang{180}\) západnej zemepisnej dĺžky po \(\ang{180}\) východnej zemepisnej dĺžky.

Bod A má na obrázku GPS súradnice $\phi_0$, $\lambda_0$.
Bod A má na obrázku GPS súradnice \(\phi_0\), \(\lambda_0\).

Ako však zistiť tieto súradnice bez použitia mapy? Začnime zemepisnou šírkou. Tu existujú dve možnosti. Môžeme merať buď na pravé poludnie1 pomocou Slnka alebo v noci za použitia Polárky. Princíp je v tom, že Slnko (alebo Polárka) je voči Zemi ako objektu umiestnené v konkrétnom smere (viď obr. ?? pre Slnko a obr. ?? pre Polárku). Avšak nakoľko Zem nie je rovina, ale v podstate guľa2, uhol, pod ktorým vidíme Slnko (alebo Polárku), sa môže líšiť. Nuž a presne na pravé poludnie v deň jarnej alebo jesennej rovnodennosti3, je \(\ang{180}\), mínus uhol medzi Slnkom a kolmicou k zemi4 rovný presne zemepisnej šírke (viď obr. ??).

V deň jarnej a jesennej rovnodennosti na pravé poludnie je zemepisná šírka $\phi$ rovná presne $\ang{180}$ mínus uhol, ktorý zvierajú dopadajúce lúče s kolmicou na Zem.
V deň jarnej a jesennej rovnodennosti na pravé poludnie je zemepisná šírka \(\phi\) rovná presne \(\ang{180}\) mínus uhol, ktorý zvierajú dopadajúce lúče s kolmicou na Zem.

Samozrejme, zemepisnú šírku vieme merať aj v iný deň. Vtedy je však potrebné odpočítať deklináciu Slnka5 (viď obr. ??).

Vo všeobecnosti je potrebné z nameraného uhla $\phi_0$ odpočítať deklináciu Slnka $\alpha$. Ako vidíte z obrázku, máme ju zbytočne započítanú navyše. Ak by bola záporná, bol by to naopak uhol, ktorý by nám chýbal.
Vo všeobecnosti je potrebné z nameraného uhla \(\phi_0\) odpočítať deklináciu Slnka \(\alpha\). Ako vidíte z obrázku, máme ju zbytočne započítanú navyše. Ak by bola záporná, bol by to naopak uhol, ktorý by nám chýbal.

S Polárkou je meranie jednoduchšie v tom, že sa nachádza presne nad zemskou osou a teda jej poloha sa na oblohe nemení – takže kým vidíme hviezdy (a hlavne Polárku), môžeme merať kedykoľvek. V tomto prípade uhol vodorovného smeru a smeru k Polárke predstavuje práve zemepisnú šírku:

Princíp merania zemepisnej dĺžky je o niečo jednoduchší.6 Spočíva v tom, že Zem sa otáča konštantnou rýchlosťou \(\ang{360}\) za 24 hodín (prepočítajme na niečo výhodnejšie: \(\ang{1}\) za 4 minúty). Ak teda vieme určiť, kedy je u nás presné poludnie a kedy bolo pravé poludnie na nultom poludníku, z ich rozdielu už vieme zemepisnú dĺžku jednoducho určiť – je to spomínaný rozdiel časov delený 4 (dostaneme teda počet stupňov, o ktorý sa Zem medzičasom otočí, čo je vlastne presne to, čo sme chceli :)). Už chýba len určiť smer. Ak je u nás viac hodín než v Greenwichi7, u nás bolo poludnie skôr a teda sme východnejšie alebo naopak, ak by u nás bolo menej hodín, poludnie by bolo skôr na Greenwichi a zisťovaná súradnica by bola západnej zemepisnej dĺžky.

Zemepisná šírka je rovná uhlu medzi horizontálnym smerom a smerom k Polárke.
Zemepisná šírka je rovná uhlu medzi horizontálnym smerom a smerom k Polárke.

Meranie

K meraniu je potrebné vyriešiť ešte dve otázky. Prvou je: ako zistiť, kedy je pravé poludnie? Druhou: ako odmerať daný uhol? V prípade zemepisnej dĺžky sme nájdením odpovede na prvú otázku vlastne už vyhrali, zatiaľ čo pri zemepisnej šírke potrebujeme hlavne odpoveď na tú druhú. Čas pravého poludnia vieme určiť buď pomocou faktu, že tieň ukazuje presne na skutočný sever8 – rovník je na juh od nás a Slnko vtedy nie je ani na východe, ani na západe – alebo využitím skutočnosti, že tieň je vtedy najkratší (Slnko je predsa v najvyššom bode svojej dráhy). Ďalšou možnosťou je merať uhol k Slnku a poludnie by bolo vtedy, keď je uhol maximálny. Na Greenwichi však poludnie nie je presne 12:00 (alebo 13:00 letného času)9. Kedy bolo alebo bude, viete vyčítať napríklad z tejto tabuľky: http://www.ppowers.com/EoT.htm/

Čo sa týka odpovede na druhú otázku, prvou možnosťou je odmerať výšku \(h\) nejakého predmetu, na ktorý cez poludnie svieti Slnko. V tom prípade je taktiež potrebné zistiť dĺžku jeho tieňa \(t\) na pravé poludnie. Potom z uvedených údajov je možné vypočítať zemepisnú šírku \(\phi\) použitím vzťahu jasného z obr. ??: \[ \phi = \ang{90} - \arctan{\left(\frac{h}{t}\right)} - \alpha\text{,} \qquad(1)\] kde \(\alpha\) je deklinácia Slnka.

Zemepisná šírka je rovná $\left(\ang{90} - \phi_0 - \alpha\right)$, kde $\phi_0 = \arctan{\left(\frac{h}{t}\right)}$ je uhol, ktorý sme namerali.
Zemepisná šírka je rovná \(\left(\ang{90} - \phi_0 - \alpha\right)\), kde \(\phi_0 = \arctan{\left(\frac{h}{t}\right)}\) je uhol, ktorý sme namerali.

Ďalším možným spôsobom je vytvoriť si na to špeciálny uhlomer. Ja som zvolila nasledujúci model: dve dosky pribité klincom tak, že jednu položíme kolmo na zem a druhou môžeme spokojne otáčať. Na klinec taktiež zavesíme závažie, aby sa ľahšie a presnejšie odčítaval uhol.

Model použitého zariadenia
Model použitého zariadenia
Zemepisná šírka je rovná $\left(\ang{90} - \phi_0 - \alpha\right)$, kde $\phi_0 = \arctan{\left(\frac{h}{t}\right)}$ je uhol, ktorý sme namerali.
Zemepisná šírka je rovná \(\left(\ang{90} - \phi_0 - \alpha\right)\), kde \(\phi_0 = \arctan{\left(\frac{h}{t}\right)}\) je uhol, ktorý sme namerali.

Keď je rotačná časť vodorovne, uhlomer ukazuje presne \(\ang{90}\) (prípadne inú konštantu, ak lepíte krivo). Následne využitím tieňa – tieň rotačnej časti má minimálny obsah práve vtedy, keď ňou mierime priamo na Slnko10 – zistíme, akému uhlu zodpovedá smer k Slnku a nakoniec už len rozdielom uhlov a prípadným odčítaním deklinácie Slnka, ktorú pre daný deň nájdeme v deklinačnej tabuľke11 určíme hľadanú zemepisnú šírku.

Ak by sme sa rozhodli merať v noci, pre mierenie na Polárku by bolo ideálne použiť dobrý laser. Laser priložíme k rotačnej časti a namierime tak, aby svietil na Polárku. Nakoniec už len určíme hľadaný uhol a máme vyhraté. Ja som bohužiaľ laser nemala, tak som rotačnú časť namierila rovnobežne s mojou rukou ukazujúcou na Polárku a na moje prekvapenie bol výslený uhol odlišný len o \(\ang{1}\) (\(\ang{49}\) miesto \(\ang{48.185}\))12 Ten jeden stupeň je v skutočnosti dosť značný rozdiel. Ak vás však zaujíma len približné miesto na Zemi, kde sa nachádzate, tak je tento spôsob v poriadku. Pri navigácií na mori by ste sa však dlho asi nedožili.

Hlavnú pozornosť merania som však sústredila na poludnie. Pomocou uhlomerovo-tieňovej metódy som namerala uhol medzi kolmicou a smerom k Slnku: \(\ang{51}\). Deklinácia Slnka v daný deň bola \(\ang{-2.6}\), takže zemepisná šírka by mala byť rovná \(\ang{53.6}\). To je však takmer až o \(\ang{6}\) zle (správna hodnota: \(\ang{48.185}\) N). Druhý spôsob, ktorý som zvolila, bolo vytvorenie slnečných hodín. Na veľký kus kartónu som nalepila ceruzku, ktorej výšku som si zmerala, a v okolí obeda som si každú minútu značila polohu tieňa. Pri prvej realizácii, keď deklinácia Slnka bola \(\ang{-1.8}\) a poludnie na nultom poludníku 12:51 GMT, mi poludnie u nás vyšlo 12:53 – zemepisná dĺžka rovná 58/4 = \(\ang{14.5}\) (miesto skutočných \(\ang{17.071}\)) – a zemepisná šírka podľa rov. 1: \(\ang{50.5}\) N.

Čiže namiesto skutočnej lokácie v Bratislave mi vyšlo, že sa nachádzam kúsok severne od Prahy. Druhé opakovanie merania bolo s deklináciou \(\ang{-2.6}\) a poludním na nultom poludníku 12:50 (ten istý deň, čo uhlomer-tieňové meranie). Poludnie mi vyšlo o 12:46, z čoho vychádza zemepisná dĺžka \(\ang{16}\)E a zemepisná šírka (zo vzťahu 1) \(\ang{52.9}\) – čo je však už takmer severná časť Poľska. Hlavným problémom v daný deň bolo časté prechádzanie oblakov popred slnko a tým pádom žiaden tieň – nebolo možné spozorovať každú minútu. Nepresnosti mohli byť aj v určovaní dĺžky tieňa. Veľmi užitočnou pomocou pri meraní je kamarát, ktorý vám pomôže uchycovať predmety vodorovne/kolmo – pravdepodobne jeden z výrazných faktorov, prečo mi nočné meranie vyšlo o toľko presnejšie. Vyhovujúce by bolo zvoliť aj vhodné závažie, ktoré sa ľahko popasuje s vetrom.

Foto použitého modelu
Foto použitého modelu

  1. okamih, keď je Slnko najvyššie na oblohe

  2. V skutočnosti geoid, čo znamená, že náš kolmý smer vo všeobecnosti nesmeruje presne k stredu Zeme. Avšak zanedbanie tohoto faktu spraví menšiu chybu, než je moja presnosť. Za kolmý smer preto vo zvyšku textu budeme uvažovať smer k stredu Zeme.

  3. T. j. keď stred obrazu Slnka leží v rovine rovníka. V tento deň taktiež zemská os nesmeruje ani od Slnka ani k Slnku a deň má všade presne 12 hodín

  4. Pre istotu opakujem, že smer k stredu Zeme stotožňujeme s kolmicou k Zemi, ak keď to tak v skutočnosti nemusí byť.

  5. Uhlová vzdialenosť Slnka od rovníka. Za kladný smer považujeme smer k severnému pólu.

  6. V minulosti to však bol obrovský oriešok. Za nájdenie jednoduchého a praktického spôsobu, ako zistiť túto súradnicu pri plavení sa po mori boli sľúbené vysoké odmeny. V skutočnosti je história zemepisnej dĺžky dosť zaujímavý príbeh.

  7. nezabúdajte na existenciu letného a zimného času – nás vždy zaujíma len ten astronomický

  8. Pozor na to, že magnetický sever nie je zároveň ten skutočný – ukazujúci na severný pól. O rozdiele medzi nimi sa viete niečo dozvedieť napríklad tu: http://www.1sg.sk/~pkubinec/magnetzem.html. Taktiež spomeňme, že na južnej pologuli bude tieň smerovať na juh, nie na sever.

  9. Ak vás zaujíma prečo a nebojíte sa angličtiny, viac nájdete tu: https://en.wikipedia.org/wiki/Analemma/ a https://en.wikipedia.org/wiki/Equation_of_time/.

  10. pozerať sa na Slnko nie je dobrý nápad

  11. napríklad tu: https://astronavigationdemystified.com/survival-declination-table/

  12. Samozrejme, v presnosť na nejaké desatinné miesta s bežne dostupným materiálom ani nedúfam.

Diskusia

Tu môžte voľne diskutovať o riešení, deliť sa o svoje kusy kódu a podobne.

Pre pridávanie komentárov sa musíš prihlásiť.