Zadanie

Slávni argentínski chovatelia dobytka, Juan a Jorge Cruderovci, zavčas rána osedlali kone a vyrazili zo svojej estancíe do pampy za novými dobrodružstvami. Juan zamieril priamo v ústrety vychádzajúcemu Slnku a s bravúrnou ľahkosťou hnal koňa celých päťdesiat kilometrov. Potom sa otočil na sever a pokračoval ďalších \(\SI{50}{\kilo\metre}\). Naopak Jorge najprv odcválal \(\SI{50}{\kilo\metre}\) na sever a následne \(\SI{50}{\kilo\metre}\) na východ. Večer Jorge s prekvapením zistil, že vo vzdialenosti presne \(\SI{1}{\kilo\metre}\) vidí Juana, ako si nad pahrebou chystá voňavé asado con cuero. Na akej zemepisnej šírke sa nachádza estancía Crudero?

Svet bratov Cruderovcov je síce bohatý a drsný, ale zato jednoduchý. Zem je samozrejme dokonale guľatá a sklon jej osi môžete zanedbať. O polohe Argentíny radšej takisto nič nepredpokladajte a nájdite všetky riešenia.

Na začiatok je vhodné uvedomiť si a následne využiť fakt, že bratia Cruderovci sa v premise postavenej zadaním hýbu po Zemi výhradne po kružniciach na nej ležiacich. To prvé by človek majúci základné vedomosti z geografie a jazyka, v ktorom sa mu zadanie dostalo do rúk, mal mať v tejto chvíli zvládnuté. To druhé ihneď rozoberieme.

Poludníky a rovnobežky zaujímajú výsostné miesto spomedzi kriviek na zemeguli kvôli tomu, že pri pohybe po nich sa mení len zemepisná šírka, respektíve dĺžka. Pokúsme sa teraz posuny zo zadania v kilometroch preložiť do reči, zemepisných súradníc. Keďže všetky poludníky sú hlavné kružnice (pre puristov polkružnice), pričom hlavná kružnica je v krátkosti na zemeguli kružnica najpoprednejšia v dlhosti.

To značí, že všetky poludníky majú rovnaký polomer, a to polomer Zeme. Táto nuansa nám umožňuje preklad do zemepisných (sférických) súradníc takmer spakruky, ako \(\mathop{\delta s} = \frac{r}{R}\), kde \(\mathop{\delta s}\) je zmena zemepisnej šírky (zo zatiaľ ešte málo zjavných dôvodov v radiánoch), \(r\) je dĺžka našej cesty smerom na sever (\(\SI{50}{\kilo\metre}\)) a \(R\) je polomer Zeme.

Po vyriešení poludníkov sa nám síce hlavné kružnice neminuli, ale veselou (vďaka tomu má tento príklad zmysel) správou je, že z rovnobežiek je hlavnou kružnicou len rovník. Bez ďalšieho otáľania vyjavíme, že polomer rovnobežky je \(\rho=R\cos s\), kde \(s\) je príslušná zemepisná šírka. A teda aj preklad obyčajnej vzdialenosti v západo-východnom smere na zemepisnú dĺžku je krivočiarejší, i keď analogický: \(\mathop{\delta d} = \frac{r}{R\cos{s}} = \frac{\mathop{\delta s}}{\cos s}\).

Teraz už môžeme presuny, presnejšie konečné lokácie Juana a Jorgeho uviesť v sférických súradniciach. Pre Juana je to ľahšie, zemepisná širka mu vzrástla o už vyššie uvedené \(\mathop{\delta s}\) a zemepisná dĺžka o už vyššie uvedené \(\mathop{\delta d} = \frac{\mathop{\delta s}}{\cos s}\), kde \(s\) je nami hľadaná zemepisná šírka. Jorge taktiež zvýšil svoju zemepisnú šírku o \(\mathop{\delta s}\), ale zemepisnú dĺžku už o \(\mathop{\delta d'} = \frac{\mathop{\delta s}}{\left|\cos\left(s+\mathop{\delta s}\right)\right|}\), keďže sa hýbal po inej rovnobežke (absolútna hodnota pribudla kvôli možnému prechodu cez severný pól, čo nám zadanie explicitne nezakazuje. Takto nebude mať nová rovnobežka záporný polomer).

Zadanie nám dáva podmienku riešenia: na konci bol Juan od Jorgeho jeden kilometer, a naopak. Čo to znamená? Že kružnicový úsek vytýčený bratstvom na hlavnej kružnici udanej nimi dvoma je dlhý práve jeden kilometer. To je ekvivalentné s podmienkou, že veľkosť uhla Juan–stred Zeme–Jorge je práve \(\frac{r/50}{R}=\frac{\mathop{\delta s}}{50}\). Ako ale získame tento uhol zo zemepisných súradníc? Teraz si treba uvedomiť, že z pozície bratov sme schopní vytvoriť jednotkové vektory s počiatkom v strede Zeme, a teda zo skalárneho súčinu týchto dvoch vektorov v karteziánskych súradniciach dostaneme kosínus požadovaného uhla. \[\begin{align} \vec{r}_\mathrm{Juan} = \begin{pmatrix} \cos\left(s+\delta s\right)\cos{\delta d} \\ \cos\left(s+\delta s\right)\sin{\delta d} \\ \sin\left(s+\delta s\right) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos\left(s+\delta s\right)\cos\frac{\delta s}{\cos{s}} \\ \cos\left(s+\delta s\right)\sin\frac{\delta s}{\cos{s}} \\ \sin\left(s+\delta s\right) \end{pmatrix}\text{.} \end{align}\] \[\begin{align} \vec{r}_\mathrm{Jorge} = \begin{pmatrix} \cos\left(s+\delta s\right)\cos{\delta d'} \\ \cos\left(s+\delta s\right)\sin{\delta d'} \\ \sin\left(s+\delta s\right) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos\left(s+\delta s\right)\cos{\frac{\delta s}{\left|\cos\left(s+\delta s\right)\right|}} \\ \cos\left(s+\delta s\right)\sin{\frac{\delta s}{\left|\cos\left(s+\delta s\right)\right|}} \\ \sin\left(s+\delta s\right) \end{pmatrix}\text{.} \end{align}\]

Po vykonaní skalárneho súčinu: \[\cos^2\left(s+\delta s\right)\left(\cos{\frac{\delta s}{\cos s}}\cos{\frac{\delta s}{\left|\cos\left(s+\delta s\right)\right|}}+\sin{\frac{\delta s}{\cos s}}\sin{\frac{\delta s}{\left|\cos\left(s+\delta s\right)\right|}}\right)+\sin^2\left(s+\delta s\right)=\cos\frac{\delta s}{50}\text{.}\]

Tu treba povedať, že by sme mohli aj skončiť analýzu, a začať hľadať riešenie numericky. Mne ale nedá, a pokúsim sa prinajmenšom tento výsledok trochu poľudštiť. Ako si môžeme cvičeným okom všimnúť, v tej dlhočiznej zátvorke je jedna strana súčtového vzorca pre \(\cos\left(a-b\right)\). Teda: \[\cos^2\left( s+\delta s\right)\cos\left(\delta s \left(\frac{1}{\cos s}-\frac{1}{\left|\cos\left(s+\delta s\right)\right|}\right)\right)+\sin^2\left(s+\delta s\right)=\cos{\frac{\delta s}{50}}\text{.}\]

To vieme ešte trocha upraviť: \[\cos^2\left( s+\delta s\right)\cos\left(\delta s \frac{\left|\cos\left(s+\delta s\right)\right|-\cos s}{\left|\cos\left(s+\delta s\right)\right|\cos s}\right)+\sin^2\left(s+\delta s\right)=\cos\frac{\delta s}{50}\text{.}\]

Toto je, úprimne verím, najhumánnejšia podoba našej rovnice, k akej sa dá dopracovať. Teraz už je ozaj riešením numerika. Nepeknou vlastnosťou úlohy je jej citlivosť na jemnosti. Ak si našu rovnicu upravíme na funkciu s jednou nulovou stranou, zodpovedajúce šírky (v radiánoch) hľadáme ako priesečníky s \(x\)-ovou osou. Ak tak spravíme, všimneme si nespočet riešení okolo pólov, ktoré sa ale líšia o pomerne malé čísla. Tu je už na riešiteľovi, čo si zvolí za rôzne riešenia (t. j. na akú presnosť chce byť schopný určiť polohu estancíe Crudero). Ak nám stačí vedieť polohu s presnosťou na \(\sim\SI{1}{\kilo\metre}\), vieme si ľahko vypočítať, že šírka nás zaujíma maximálne na desaťtisíciny. Takáto mentálna akrobacia nebola predvádzaná náhodou, keďže potom si možno všimnúť, že nespočet polárnych riešení sa nám zhrkne prakticky do intervalu. A teda estancía Crudero môže ležať približne v nasledujúcich šírkach (po prepočte na stupne) v \(\langle\ang{-89.94}; \ang{-68.60}\rangle\); \(\langle\ang{68.54}; \ang{89.51}\rangle\).

Človeka majúceho vedomosť, že \(\mathop{\delta s} \ll 1\), môže pochytiť túžba vyriešiť rovnicu s použitím nejakých aproximácií. Netreba sa ale rozkokošiť, celá úloha sa deje v malých hodnotách, a teda aproximácia nám môže zabiť nejaké/všetky/možnosť riešenia. Tu sa predvedie elegantná cesta k dvom nepolárnym riešeniam, ale priam s prekvapivou presnosťou a ľahším výpočtom. Použime na najdlhší kosínus aproximáciu \(\cos s\approx 1-\frac{x^2}{2}\). \[\cos^2\left( s+\delta s\right)\left(1-\frac{1}{2}\left(\delta s \frac{\cos\left(s+\delta s\right)-\cos s}{\cos\left(s+\delta s\right)\cos s}\right)^2\right)+\sin^2\left(s+\delta s\right)=\cos\frac{\delta s}{50}\text{.}\]

Upravujeme: \[1-\frac{1}{2}\cos^2\left( s+\delta s\right)\left(\delta s \frac{\cos\left(s+\delta s\right)-\cos s}{\cos\left(s+\delta s\right)\cos s}\right)^2=\cos\frac{\delta s}{50}\text{,}\] \[1-\frac{1}{2}\left(\delta s \frac{\cos\left(s+\delta s\right)-\cos s}{\cos s}\right)^2=\cos\frac{\delta s}{50}\text{,}\] \[\cos\left(\delta s \frac{\cos\left(s+\delta s\right)-\cos s}{\cos s}\right)=\cos\frac{\delta s}{50}\text{.}\]

A keďže kosínus je párna funkcia, musí platiť \[\delta s \frac{\cos\left(s+\delta s\right)-\cos s}{\cos s}=\pm\frac{\delta s}{50}\text{,}\] \[\frac{\cos\left(s+\delta s\right)-\cos s}{\cos s}= \pm \num{0.02}\text{.}\]

Aby sme sa dostali k riešeniu, treba nám ešte rozseparovať \(s\) a \(\delta s\) cez súčtový vzorec. \[\cos s\cos\delta s-\sin s\sin\delta s-\cos s= \pm \num{0.02} \cos s\]

Ak \(\cos s\neq 0\), čo zo zadania vieme vytušiť, pretože ináč by bolo nezmyselné, dostaneme sa k \[\cos\delta s-\tan s\sin\delta s-1 = \pm \num{0.02}\text{,}\] \[\tan s=\frac{\cos\delta s-\left(1\pm \num{0.02} \right)}{\sin\delta s}\text{,}\] \[s=\arctan\left(\frac{\cos\delta s-\left(1 \pm \num{0.02}\right)}{\sin\delta s}\right)\text{.}\]

Ak si dáte námahu vyčísliť si tieto riešenia, uvidíte, že sme ich dostali dosť presne na naše (aspoň moje) nároky.

Diskusia

Tu môžte voľne diskutovať o riešení, deliť sa o svoje kusy kódu a podobne.

Pre pridávanie komentárov sa musíš prihlásiť.